উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $\tan x = \frac{3}{4}$ এবং $\cos x$ ধনাত্মক।
   আমরা জানি,
   $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$
   $\therefore \sec x = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ [যেহেতু $\cos x$ ধনাত্মক, তাই $\sec x$ ধনাত্মক]
   $\therefore \cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{4}{5}$

   এখন,
   $\sin x = \tan x \cdot \cos x = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$

   নির্ণেয় মান: $\frac{3}{5}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AC$ হলো বৃত্তের ব্যাস।
   অতএব, $\angle ABC$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
   আমরা জানি, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ বা $90^\circ$।
   $\therefore \angle B = 90^\circ$

   যেহেতু $\triangle ABC$-এ তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$,
   $A + B + C = 180^\circ$
   $\Rightarrow A + 90^\circ + C = 180^\circ$
   $\Rightarrow A + C = 90^\circ$
   $\Rightarrow C = 90^\circ - A$

   বামপক্ষ $= \sin^2 A - \sin^2 B + \sin^2 C$
   $= \sin^2 A - \sin^2 90^\circ + \sin^2(90^\circ - A)$
   $= \sin^2 A - (1)^2 + \cos^2 A$
   $= (\sin^2 A + \cos^2 A) - 1$
   $= 1 - 1$
   $= 0$
   $= \text{ডানপক্ষ}$

   $\therefore \sin^2 A - \sin^2 B + \sin^2 C = 0$ (প্রমাণিত)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = OC = 6.5\text{ cm}$
   $\therefore$ ব্যাস, $AC = 2 \times 6.5 = 13\text{ cm}$
   এবং $BC = 5\text{ cm}$

   যেহেতু $\angle ABC = 90^\circ$, তাই $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
   পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
   $AB^2 + BC^2 = AC^2$
   $\Rightarrow AB^2 = AC^2 - BC^2$
   $\Rightarrow AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
   $\therefore AB = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$

   $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
   $= \frac{1}{2} \times BC \times AB$
   $= \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\text{ cm}^2$

   ব্যাস $AC$ দ্বারা গঠিত অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \pi r^2$
   $= \frac{1}{2} \times 3.1416 \times (6.5)^2$
   $= \frac{1}{2} \times 3.1416 \times 42.25$
   $\approx 66.365\text{ cm}^2$

   চিত্রানুযায়ী, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $=$ অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল $-$ $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল
   $= (66.365 - 30)\text{ cm}^2$
   $= 36.365\text{ cm}^2$ (প্রায়)

   উত্তর: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল প্রায় $36.365\text{ cm}^2$ বা $36.37\text{ cm}^2$।