উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   দেওয়া আছে,
   $\text{L.H.S.} = \begin{vmatrix} a & -x & a+x \\ b & -y & b+y \\ c & -z & c+z \end{vmatrix}$

   প্রথম কলাম থেকে দ্বিতীয় কলাম বিয়োগ করে পাই ($C_1' = C_1 - C_2$):
   $= \begin{vmatrix} a - (-x) & -x & a+x \\ b - (-y) & -y & b+y \\ c - (-z) & -z & c+z \end{vmatrix}$
   $= \begin{vmatrix} a+x & -x & a+x \\ b+y & -y & b+y \\ c+z & -z & c+z \end{vmatrix}$

   যেহেতু নির্ণায়কটির ১ম কলাম ($C_1$) এবং ৩য় কলাম ($C_3$) হুবহু এক (সর্বসম),
   সুতরাং নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী এর মান শূন্য।
   $= 0 = \text{R.H.S. (প্রমাণিত)}$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   দেওয়া আছে,
   $S = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}, \quad T = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

   এখন,
   $ST = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
   $= \begin{pmatrix} (-1)(3) + 1(-1) & (-1)(-5) + 1(2) \\ 2(3) + (-3)(-1) & 2(-5) + (-3)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ 9 & -16 \end{pmatrix}$

   $|ST| = (-4)(-16) - (7)(9) = 64 - 63 = 1 \neq 0$
   $(ST)^{-1} = \frac{1}{|ST|} \text{adj}(ST) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix}$

   আবার,
   $|T| = (3)(2) - (-5)(-1) = 6 - 5 = 1 \neq 0$
   $T^{-1} = \frac{1}{|T|} \text{adj}(T) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

   $|S| = (-1)(-3) - (1)(2) = 3 - 2 = 1 \neq 0$
   $S^{-1} = \frac{1}{|S|} \text{adj}(S) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

   অতএব,
   $T^{-1}S^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$
   $= \begin{pmatrix} 2(-3) + 5(-2) & 2(-1) + 5(-1) \\ 1(-3) + 3(-2) & 1(-1) + 3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix}$

   সুতরাং,
   $(ST)^{-1} - T^{-1}S^{-1} = \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -16 & -7 \\ -9 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

   যা একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   দেওয়া আছে,
   $|U| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2a^3+1 & 2b^3+1 & 2c^3+1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$

   নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী ২য় সারিকে ভেঙে দুটি নির্ণায়কের যোগফল আকারে প্রকাশ করে পাই:
   $|U| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2a^3 & 2b^3 & 2c^3 \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$

   প্রথম নির্ণায়কের ২য় সারি থেকে $2$ এবং ১ম, ২য় ও ৩য় কলাম থেকে যথাক্রমে $a, b, c$ সাধারণ নিয়ে:
   $= 2abc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$

   প্রথম নির্ণায়কে $R_2 \leftrightarrow R_3$ এবং দ্বিতীয় নির্ণায়কে $R_1 \leftrightarrow R_2$ স্থানান্তর করে পাই (সারি বিনিময়ে চিহ্নের পরিবর্তন হয়):
   $= -2abc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$
   $= -(2abc+1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$

   এখন নির্ণায়কটিতে $C_1' = C_1 - C_2$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$ প্রয়োগ করে পাই:
   $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \end{vmatrix}$
   $= (a-b)(b-c) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & c \\ a+b & b+c & c^2 \end{vmatrix}$

   প্রথম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই:
   $= (a-b)(b-c) \left[ 1 \cdot \{(b+c) - (a+b)\} \right] = (a-b)(b-c)(c-a)$

   অতএব,
   $|U| = -(2abc+1)(a-b)(b-c)(c-a) \quad \text{(প্রমাণিত)}$