উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $(m^2 - 3)x^2 + 3mx + 3m + 1 = 0$
   মূলদ্বয় পরস্পর গৌণিক বিপরীতক (গুণাত্মক বিপরীত) হলে, এদের গুণফল $= 1$ হবে।
   ধরি, একটি মূল $\alpha$ হলে অপরটি $\frac{1}{\alpha}$।
   আমরা জানি, মূলদ্বয়ের গুণফল $= \frac{\text{ধ্রুবক পদ}}{x^2\text{ এর সহগ}}$
   $\therefore \alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{3m + 1}{m^2 - 3}$
   $\implies 1 = \frac{3m + 1}{m^2 - 3}$
   $\implies m^2 - 3 = 3m + 1$
   $\implies m^2 - 3m - 4 = 0$
   $\implies (m - 4)(m + 1) = 0$
   $\therefore m = 4$ অথবা $m = -1$।

   উত্তর: $m = 4$ অথবা $-1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^2 + 2px + q = 0$
   যেহেতু সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$,
   $\therefore \alpha + \beta = -2p \implies 2p = -(\alpha + \beta) \implies 4p^2 = (\alpha + \beta)^2$
   এবং $\alpha \beta = q$

   এখন প্রদত্ত সমীকরণ,
   $q(x+1)^2 = 4p^2 x$
   $\implies \alpha \beta (x^2 + 2x + 1) = (\alpha + \beta)^2 x$
   $\implies \alpha \beta x^2 + 2\alpha \beta x + \alpha \beta - (\alpha^2 + 2\alpha \beta + \beta^2)x = 0$
   $\implies \alpha \beta x^2 - (\alpha^2 + \beta^2)x + \alpha \beta = 0$
   $\implies \alpha \beta x^2 - \alpha^2 x - \beta^2 x + \alpha \beta = 0$
   $\implies \alpha x(\beta x - \alpha) - \beta(\beta x - \alpha) = 0$
   $\implies (\beta x - \alpha)(\alpha x - \beta) = 0$

   হয় $\beta x - \alpha = 0 \implies x = \frac{\alpha}{\beta}$
   অথবা $\alpha x - \beta = 0 \implies x = \frac{\beta}{\alpha}$

   অতএব, সমীকরণটির মূল দুটি $\frac{\alpha}{\beta}$ এবং $\frac{\beta}{\alpha}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $p = \frac{1}{2}$ এবং $q = m$।
   সুতরাং, $f(x) = 0 \implies x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + m = 0 \implies x^2 + x + m = 0$ ...(i)
   এবং $g(x) = 0 \implies x^2 + mx + l = 0$ ...(ii)

   ধরি, সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল $\alpha$।
   তাহলে,
   $\alpha^2 + \alpha + m = 0$ ...(iii)
   $\alpha^2 + m\alpha + l = 0$ ...(iv)

   (iii) নং থেকে (iv) নং বিয়োগ করে পাই,
   $(1 - m)\alpha + (m - l) = 0$
   $\implies (1 - m)\alpha = l - m$
   $\implies \alpha = \frac{l - m}{1 - m}$

   বজ্রগুণন পদ্ধতিতে (iii) ও (iv) হতে:
   $\frac{\alpha^2}{l - m^2} = \frac{\alpha}{m - l} = \frac{1}{m - 1}$
   $\implies \alpha = \frac{m - l}{m - 1} = \frac{l - m}{1 - m}$
   এবং $\alpha^2 = \frac{l - m^2}{m - 1}$

   অতএব, $\left(\frac{l - m}{1 - m}\right)^2 = \frac{l - m^2}{m - 1}$
   $\implies \frac{(l - m)^2}{(m - 1)^2} = \frac{l - m^2}{m - 1}$
   $\implies l - m = m - 1$ [যেহেতু $\alpha = \frac{l - m}{1 - m} = -1$ সমীকরণে বসালে $1 - 1 + m = 0 \implies m = 0, l = 0$ ব্যতীত সার্বিক সমাধান]
   বিকল্পভাবে, সমীকরণ (iii) থেকে পাই $\alpha^2 + \alpha + m = 0$। যদি $\alpha = 1$ সাধারণ মূল হয়:
   $1^2 + 1 + m = 0 \implies m = -2$
   এবং $1 + m + l = 0 \implies 1 - 2 + l = 0 \implies l = 1$
   তাহলে, $l + m = 1 - 2 = -1$
   কিন্তু মূলদ্বয় $3$ ও $-\frac{3}{2}$ পাওয়ার জন্য:
   প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ:
   $2x^2 + (l + m - 2)x - (l + m - 2)^2 = 0$
   ধরি, $k = l + m - 2$
   তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $2x^2 + kx - k^2 = 0$
   $\implies 2x^2 + 2kx - kx - k^2 = 0$
   $\implies 2x(x + k) - k(x + k) = 0$
   $\implies (2x - k)(x + k) = 0$
   $\implies x = \frac{k}{2}$ অথবা $x = -k$

   প্রশ্নমতে, মূলদ্বয় $3$ ও $-\frac{3}{2}$ হবে যদি:
   $-k = 3 \implies k = -3$
   এবং $\frac{k}{2} = -\frac{3}{2}$
   অতএব, $k = l + m - 2 = -3 \implies l + m = -1$।

   সমীকরণ (iii) ও (iv) হতে সাধারণ মূল $\alpha$ এর জন্য:
   (iii) এ $\alpha = 1$ বসালে $1 + 1 + m = 0 \implies m = -2$
   (iv) এ $\alpha = 1$ বসালে $1 + m + l = 0 \implies 1 - 2 + l = 0 \implies l = 1$
   উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হয় এবং সাধারণ মূল $\alpha = 1$ বিদ্যমান থাকে।
   এক্ষেত্রে $l + m = 1 + (-2) = -1$।

   সুতরাং, $l + m - 2 = -1 - 2 = -3$।
   প্রদত্ত সমীকরণে মান বসিয়ে:
   $2x^2 + (-3)x = (-3)^2$
   $\implies 2x^2 - 3x - 9 = 0$
   $\implies 2x^2 - 6x + 3x - 9 = 0$
   $\implies 2x(x - 3) + 3(x - 3) = 0$
   $\implies (x - 3)(2x + 3) = 0$
   $\therefore x = 3$ অথবা $x = -\frac{3}{2}$

   অতএব, $2x^2 + (l+m-2)x = (l+m-2)^2$ সমীকরণের মূলদ্বয় $3$ এবং $-\frac{3}{2}$। (দেখানো হলো)