গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\cos(\alpha+30^\circ)=0=\cos90^\circ\Rightarrow\alpha+30^\circ=90^\circ\Rightarrow\alpha=60^\circ$

   $\sin\frac{\alpha}{2}=\sin30^\circ=\mathbf{\frac{1}{2}}$

2. খ)

   চিত্রে $\triangle DEF$ সমকোণী ($\angle E=90^\circ$), $DE=2$ ও $EF=2\sqrt{3}$।

   $\tan\angle EDF=\frac{EF}{DE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}=\tan60^\circ$, তাই $\angle EDF=60^\circ$ এবং $\angle DFE=90^\circ-60^\circ=30^\circ$।

   শর্ত অনুযায়ী $5x+2y=60$ ...(১) এবং $x+4y=30$ ...(২)

   (২) থেকে $x=30-4y$। (১) এ বসিয়ে $5(30-4y)+2y=60\Rightarrow150-18y=60\Rightarrow y=5$

   তখন $x=30-20=10$।

   অতএব $x=\mathbf{10}$ এবং $y=\mathbf{5}$। (যাচাই: $5\times10+2\times5=60$, $10+4\times5=30$)

3. গ)

   $p=\cot\theta$, $q=\cos\theta$ এবং $a=p+q$, $b=p-q$।

   $a^2-b^2=(p+q)^2-(p-q)^2=4pq$

   বামপক্ষ $=\frac{1}{16}(a^2-b^2)^2=\frac{1}{16}\times16p^2q^2=p^2q^2=\cot^2\theta\cos^2\theta$

   ডানপক্ষ $=ab=(p+q)(p-q)=p^2-q^2=\cot^2\theta-\cos^2\theta=\cos^2\theta\left(\frac{1}{\sin^2\theta}-1\right)=\cos^2\theta\cdot\frac{1-\sin^2\theta}{\sin^2\theta}=\cos^2\theta\cdot\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\cos^2\theta\cot^2\theta$

   অতএব বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ, অর্থাৎ $\frac{1}{16}(a^2-b^2)^2=ab$ (প্রমাণিত)।