গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   1 ঘন সে.মি. কাঠের ওজন $= 6$ ডেসিগ্রাম $= 0.6$ গ্রাম।
   1 ঘন সে.মি. পানির ওজন $= 1$ গ্রাম।

   শতকরা হার $= \frac{0.6}{1}\times 100 = \mathbf{60\%}$

2. খ)

   $3nx^2 - 4mx + 3n = 0$। $x \neq 0$ বলে $x$ দ্বারা ভাগ করে, $3nx - 4m + \frac{3n}{x} = 0$
   $\Rightarrow 3n\left(x + \frac{1}{x}\right) = 4m \Rightarrow \frac{x^2+1}{2x} = \frac{2m}{3n}$

   যোজন-বিয়োজন করে, $\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{2m+3n}{2m-3n}$
   $\Rightarrow \frac{x+1}{x-1} = \frac{(2m+3n)^{1/2}}{(2m-3n)^{1/2}}$

   আবার যোজন-বিয়োজন করে, $x = \frac{(2m+3n)^{1/2} + (2m-3n)^{1/2}}{(2m+3n)^{1/2} - (2m-3n)^{1/2}}$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   ধরি $u = \frac{x}{a}$, $v = \frac{x}{b}$। লব-হরকে $a$ ও $b$ দ্বারা ভাগ করে সমীকরণ হয়
   $\frac{u+1}{u-1} + \frac{v+1}{v-1} = 2$

   $\Rightarrow (u+1)(v-1) + (v+1)(u-1) = 2(u-1)(v-1)$
   $\Rightarrow 2uv - 2 = 2uv - 2u - 2v + 2 \Rightarrow u + v = 2$

   $\Rightarrow \frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 2$

   উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা ভাগ করে, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{x}$

   $\therefore \frac{2}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ (প্রমাণিত)