উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: কণিকটি চিত্রে প্রদর্শিত শীর্ষবিন্দু A, উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামক MZ বিশিষ্ট পরাবৃত্ত। | শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক ( 2 – 3 ) মূলত (2, -3) মুদ্রণপ্রমাদ।

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} + 1 = 0$
   $\implies \frac{y^2}{3} - \frac{x^2}{4} = 1$

   এটি $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ আকারের অধিবৃত্ত, যেখানে $a^2 = 4$ এবং $b^2 = 3$।

   আমরা জানি, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}$
   $= \sqrt{1 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$।

   নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা: $\sqrt{\frac{7}{3}}$।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: কণিকটি চিত্রে প্রদর্শিত শীর্ষবিন্দু A, উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামক MZ বিশিষ্ট পরাবৃত্ত। | শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক ( 2 – 3 ) মূলত $(2, -3)$ মুদ্রণপ্রমাদ।

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।
   প্রদত্ত সমীকরণ: $y^2 = 6x$
   বা, $y^2 = 4 \cdot \frac{3}{2} x \implies a = \frac{3}{2}$

   ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ বিন্দু $P(x, y)$।
   পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক দূরত্ব $SP = x + a$
   প্রশ্নমতে, $SP = 6$
   বা, $x + \frac{3}{2} = 6 \implies x = \frac{9}{2}$

   $x = \frac{9}{2}$ সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $y^2 = 6 \cdot \frac{9}{2} = 27 \implies y = \pm 3\sqrt{3}$

   অতএব, $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক: $\left(\frac{9}{2}, 3\sqrt{3}\right)$ অথবা $\left(\frac{9}{2}, -3\sqrt{3}\right)$।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: কণিকটি চিত্রে প্রদর্শিত শীর্ষবিন্দু A, উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামক MZ বিশিষ্ট পরাবৃত্ত। | শীর্ষবিন্দু স্থানাঙ্ক ( 2 – 3 ) মূলত (2, -3) মুদ্রণপ্রমাদ।

   উদ্দীপকের কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।
   দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র S(-1, 1) এবং শীর্ষবিন্দু A(2, -3)।

   ধরি, নিয়ামক রেখা ও অক্ষরেখার ছেদবিন্দু $Z(x_1, y_1)$।
   শীর্ষবিন্দু A হলো SZ-এর মধ্যবিন্দু।
   $\therefore \frac{-1 + x_1}{2} = 2 \implies x_1 = 5$
   এবং $\frac{1 + y_1}{2} = -3 \implies y_1 = -7$
   সুতরাং, Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5, -7)।

   অক্ষরেখা SA-এর ঢাল $m = \frac{-3 - 1}{2 - (-1)} = -\frac{4}{3}$
   নিয়ামক রেখা অক্ষরেখার ওপর লম্ব হওয়ায় নিয়ামকের ঢাল $m' = \frac{3}{4}$।

   অতএব, Z(5, -7) বিন্দুগামী নিয়ামকের সমীকরণ:
   $y - (-7) = \frac{3}{4}(x - 5)$
   বা, 4y + 28 = 3x - 15
   বা, 3x - 4y - 43 = 0

   পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে (SP = PM):
   $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = \frac{(3x - 4y - 43)^2}{3^2 + (-4)^2}$
   বা, $25(x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2) = 9x^2 + 16y^2 + 1849 - 24xy - 258x + 344y$
   বা, $16x^2 + 24xy + 9y^2 + 308x - 394y - 1799 = 0$

   এটিই নির্ণেয় কণিকটির সমীকরণ।