গণিত • ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratio) • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৫

গণিত প্রশ্ন

a=sec⁡θ,b=cosec⁡θa = \sec \theta, b = \operatorname{cosec} \theta এবং c=tan⁡θc = \tan \theta .

  1. ক)

    দেখাও যে, ba2−1=ab\sqrt{a^2-1} = a .

    (1)
  2. খ)

    a+c=x a+c=x হলে, প্রমাণ কর যে, sin⁡θ=x2−1x2+1\sin \theta = \frac{x^2-1}{x^2+1} .

    (2)
  3. গ)

    1a+1b=2\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{2} হলে, θ\theta এর মান নির্ণয় কর, যেখানে θ\theta সূক্ষ্মকোণ।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    ba2−1=cosec⁡θsec⁡2θ−1=cosec⁡θtan⁡2θ=cosec⁡θtan⁡θb\sqrt{a^2-1}=\operatorname{cosec}\theta\sqrt{\sec^2\theta-1}=\operatorname{cosec}\theta\sqrt{\tan^2\theta}=\operatorname{cosec}\theta\tan\theta

    =1sin⁡θ⋅sin⁡θcos⁡θ=1cos⁡θ=sec⁡θ=a=\dfrac1{\sin\theta}\cdot\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac1{\cos\theta}=\sec\theta=a। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    a+c=xa+c=x অর্থাৎ sec⁡θ+tan⁡θ=x\sec\theta+\tan\theta=x ...(i)

    sec⁡2θ−tan⁡2θ=1\sec^2\theta-\tan^2\theta=1 থেকে sec⁡θ−tan⁡θ=1x\sec\theta-\tan\theta=\dfrac1x ...(ii)

    (i) ++ (ii): sec⁡θ=x2+12x\sec\theta=\dfrac{x^2+1}{2x}; (i) −- (ii): tan⁡θ=x2−12x\tan\theta=\dfrac{x^2-1}{2x}

    sin⁡θ=tan⁡θ÷sec⁡θ=x2−12x×2xx2+1=x2−1x2+1\sin\theta=\tan\theta\div\sec\theta=\dfrac{x^2-1}{2x}\times\dfrac{2x}{x^2+1}=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    1a+1b=cos⁡θ+sin⁡θ=2\dfrac1a+\dfrac1b=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt2

    উভয়পক্ষ বর্গ করে, 1+2sin⁡θcos⁡θ=21+2\sin\theta\cos\theta=2

    বা, sin⁡2θ=1=sin⁡90∘\sin2\theta=1=\sin90^\circ

    বা, 2θ=90∘2\theta=90^\circ

    সুতরাং, θ=45∘\theta=\mathbf{45^\circ}।

    (যাচাই: sin⁡45∘+cos⁡45∘=12+12=2\sin45^\circ+\cos45^\circ=\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2}=\sqrt2 ✓)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন