$f(x) = \sqrt{x}$ হলে—
i. $f''(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ ii. $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2}{3}$ iii. $\int \frac{\sec^2 x}{f( an x)} dx = \frac{1}{2}\sqrt{ an x} + c$ নিচের কোনটি সঠিক?

Question

$f(x) = \sqrt{x}$ হলে—
i. $f''(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ ii. $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2}{3}$ iii. $\int \frac{\sec^2 x}{f(	an x)} dx = \frac{1}{2}\sqrt{	an x} + c$ নিচের কোনটি সঠিক?

Accepted Answer

খ. ii

ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$। i. $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ এবং $f''(x) = \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}x^{-1/2}ight] = -\frac{1}{4x^{3/2}} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} 
eq \frac{1}{2\sqrt{x}}$, তাই (i) সঠিক নয়। ii. $\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 x^{1/2} \, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}ight]_0^1 = \frac{2}{3}$, তাই (ii) সঠিক। iii. $\int \frac{\sec^2 x}{f(	an x)} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{	an x}} \, dx$; $	an x = z$ ধরলে $\sec^2 x \, dx = dz$ হয়, ফলে সমাকলনটি দাঁড়ায় $\int z^{-1/2} \, dz = 2\sqrt{z} + c = 2\sqrt{	an x} + c 
eq \frac{1}{2}\sqrt{	an x} + c$, তাই (iii) সঠিক নয়। অতএব, কেবল ii সঠিক।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন