উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 = -22(y - 17)$

   বা, $(x - 0)^2 = 4 \times (-22/4)(y - 17)$

   উক্ত সমীকরণকে পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $(x - \alpha )^2 = 4a(y - \beta )$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
   শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β) = (0, 17)।

   উত্তর: (0, 17)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র (দৃশ্যকল্প-১) হতে পাই,
   উপবৃত্তের কেন্দ্র $O(0, 0)$।
   উপবৃত্তটি $x$-অক্ষকে $A(3, 0)$ ও $A'(-3, 0)$ বিন্দুতে এবং $y$-অক্ষকে $B(0, 5)$ ও $B'(0, -5)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   সুতরাং, $x$-অক্ষ বরাবর অর্ধ-অক্ষের দৈর্ঘ্য $a = 3$ এবং $y$-অক্ষ বরাবর অর্ধ-অক্ষের দৈর্ঘ্য $b = 5$।
   যেহেতু $b > a$, উপবৃত্তটির বৃহদাক্ষ $y$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

   উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}}$
   $= \sqrt{1 - \frac{3^2}{5^2}}$
   $= \sqrt{1 - \frac{9}{25}}$
   $= \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

   অতএব, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $= (0, \pm be)$
   $= (0, \pm 5 \times \frac{4}{5})$
   $= (0, \pm 4)$

   উত্তর: $(0, 4)$ এবং $(0, -4)$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখা যায়,
   কণিকটি একটি পরাবৃত্ত যার শীর্ষবিন্দু A এবং অক্ষ x-অক্ষ (y = 0)।

   দেওয়া আছে, OZ = 3 এবং OA = 4।
   যেহেতু শীর্ষবিন্দু A, x-অক্ষের ওপর মূলবিন্দু থেকে ধনাত্মক দিকে 4 একক দূরত্বে অবস্থিত, তাই শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক A(4, 0)।
   দ্বিকক্ষ বা নিয়ামকরেখা MM', x-অক্ষের ওপর Z বিন্দুতে লম্ব। OZ = 3 হওয়ায় Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 0)।

   শীর্ষবিন্দু থেকে দ্বিকক্ষের দূরত্ব, a = AZ = OA - OZ = 4 - 3 = 1।
   যেহেতু পরাবৃত্তটি ধনাত্মক x-অক্ষের দিকে উন্মুক্ত এবং অক্ষ x-অক্ষ বরাবর,
   পরাবৃত্তটির আদর্শ সমীকরণ:
   $(y - k)^2 = 4a(x - h)$
   এখানে (h, k) = (4, 0) এবং a = 1।
   বা, $(y - 0)^2 = 4 \times 1 \times (x - 4)$
   বা, $y^2 = 4(x - 4)$

   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = |4a| = |4 × 1| = 4 একক।

   উত্তর:
   আদর্শ সমীকরণ: $y^2 = 4(x - 4)$
   উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: 4 একক।