For what value of r, the co-efficient of the terms (r+1)th and (+2)th will be equal in the expansion of $\left ( 2 x^{2} + \frac{3}{x} \right )^{19}$?

Question

Accepted Answer

ক. 11

ব্যাখ্যা: $\left(2x^2 + \frac{3}{x}\right)^{19}$-এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ:
$T_{k+1} = \binom{19}{k} (2x^2)^{19-k} \left(\frac{3}{x}\right)^k = \binom{19}{k} 2^{19-k} 3^k x^{38-3k}$।
$(r+1)$-তম পদের সহগ ($k=r$): $\binom{19}{r} 2^{19-r} 3^r$।
$(r+2)$-তম পদের সহগ ($k=r+1$): $\binom{19}{r+1} 2^{18-r} 3^{r+1}$।
শর্তানুসারে সহগদ্বয় সমান:
$\binom{19}{r} 2^{19-r} 3^r = \binom{19}{r+1} 2^{18-r} 3^{r+1}$
$\implies 2 \binom{19}{r} = 3 \binom{19}{r+1}$
$\implies 2 \cdot \frac{19!}{r!(19-r)!} = 3 \cdot \frac{19!}{(r+1)!(18-r)!}$
$\implies \frac{2}{19-r} = \frac{3}{r+1}$
$\implies 2(r+1) = 3(19-r) \implies 2r + 2 = 57 - 3r \implies 5r = 55 \implies r = 11$।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন