গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ৮ সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশকে $4:3$ অনুপাতে ভাগ করলে অংশ দুইটি $\frac{8\times4}{7}=\frac{32}{7}\approx4.57$ সেমি ও $\frac{8\times3}{7}=\frac{24}{7}\approx3.43$ সেমি।

   অঙ্কনের বিবরণ: ১. $AB=8$ সেমি আঁকি। ২. $A$ বিন্দুতে $AB$ এর সাথে সুক্ষ্মকোণ করে রশ্মি $AX$ আঁকি। ৩. $AX$ থেকে সমান দৈর্ঘ্যের $(4+3)=7$ টি অংশ $AP_1,P_1P_2,\dots,P_6P_7$ কাটি। ৪. $P_7B$ যোগ করি। ৫. $P_4$ বিন্দু দিয়ে $P_7B$ এর সমান্তরাল রেখা আঁকি, যা $AB$ কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে। তখন $AC:CB=4:3$।

2. খ)

   ধরে নিচ্ছি: $\triangle HEF$ সমবাহু (প্রদত্ত সম্পর্কটি কেবল সমবাহু ত্রিভুজেই সত্য) এবং $HG$ মধ্যমা, অর্থাৎ $G$ হলো $EF$ এর মধ্যবিন্দু।

   প্রমাণ: সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা ভূমির উপর লম্ব। তাই সমকোণী $\triangle HEG$-এ $HE^2=HG^2+EG^2$।

   $EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}HE$, কারণ $EF=HE$। সুতরাং
   $HG^2=HE^2-\left(\frac{HE}{2}\right)^2=HE^2-\frac{HE^2}{4}=\frac{3HE^2}{4}$।

   $\therefore\ 4HG^2=3HE^2$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle XYZ$ ও $\triangle MNS$-এ $\frac{XY}{MN}=\frac{XZ}{MS}=\frac{YZ}{NS}$। প্রমাণ করতে হবে $\angle X=\angle M$, $\angle Y=\angle N$, $\angle Z=\angle S$।

   অঙ্কন: ধরি $XY>MN$। $XY$ থেকে $XP=MN$ এবং $XZ$ থেকে $XQ=MS$ কাটি। $PQ$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\frac{XY}{MN}=\frac{XZ}{MS}$ থেকে $\frac{XY}{XP}=\frac{XZ}{XQ}$, অর্থাৎ $\frac{XP}{PY}=\frac{XQ}{QZ}$। তাই $PQ\parallel YZ$।

   $\therefore\ \angle XPQ=\angle Y$, $\angle XQP=\angle Z$ (অনুরূপ কোণ) এবং $\triangle XPQ$ ও $\triangle XYZ$ সদৃশকোণী। তাই $\frac{XY}{XP}=\frac{YZ}{PQ}$, অর্থাৎ $\frac{XY}{MN}=\frac{YZ}{PQ}$।

   শর্ত অনুযায়ী $\frac{XY}{MN}=\frac{YZ}{NS}$। অতএব $PQ=NS$।

   এখন $\triangle XPQ$ ও $\triangle MNS$-এ $XP=MN$, $XQ=MS$, $PQ=NS$। $\therefore\ \triangle XPQ\cong\triangle MNS$ (বাহু-বাহু-বাহু)।

   $\therefore\ \angle X=\angle M$, $\angle XPQ=\angle N$, $\angle XQP=\angle S$। কিন্তু $\angle XPQ=\angle Y$ ও $\angle XQP=\angle Z$। সুতরাং $\angle X=\angle M$, $\angle Y=\angle N$, $\angle Z=\angle S$। (প্রমাণিত)