পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেসব একক মৌলিক এককের ওপর নির্ভর করে বা একাধিক মৌলিক এককের গুণ বা ভাগের মাধ্যমে গঠিত হয়, সেগুলোকে লব্ধ একক বলে। যেমন— বলের একক নিউটন ($N$), বেগের একক $ms^{-1}$ ইত্যাদি।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি অসমান সমজাতীয় ভেক্টরের লব্ধি কখনো শূন্য হতে পারে না।

   দুটি সমজাতীয় ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে হলে ভেক্টরদ্বয়ের মান সমান এবং তাদের পরস্পরের বিপরীতমুখী (মধ্যবর্তী কোণ $180^\circ$) হওয়া আবশ্যক। যদি ভেক্টর দুটি অসমান হয়, তবে তাদের বিপরীতমুখী হলেও লব্ধির মান হবে $R = |P - Q| \neq 0$। ফলে লব্ধি কখনোই পুরোপুরি শূন্য হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
   $\vec{B} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$

   চিত্র-১ অনুযায়ী, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$-এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।
   $\vec{A}$ ও $\vec{B}$-এর ডট গুণন থেকে আমরা পাই,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$
   $= (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2)$
   $= 12 - 6 - 2 = 4$

   $\vec{A}$-এর মান, $A = |\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$
   $\vec{B}$-এর মান, $B = |\vec{B}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

   আমরা জানি,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos\alpha$
   বা, $\cos\alpha = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{A B} = \frac{4}{3 \times 7} = \frac{4}{21}$
   বা, $\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}\right) \approx 79.02^\circ$

   অতএব, $\alpha$-এর মান $79.02^\circ$।

   (বিকল্প সমাধান: চিত্র-২ অনুযায়ী $(\vec{A}+\vec{B})$ ও $(\vec{A}-\vec{B})$-এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হলে,
   $\vec{C} = \vec{A}+\vec{B} = 8\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$, যার মান $C = \sqrt{66}$
   $\vec{D} = \vec{A}-\vec{B} = -4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$, যার মান $D = \sqrt{50}$
   $\vec{C}\cdot\vec{D} = -32 - 5 - 3 = -40$
   সেক্ষেত্রে $\cos\alpha = \frac{-40}{\sqrt{66}\times\sqrt{50}} \approx -0.6963 \implies \alpha \approx 134.13^\circ$ অথবা বিপরীত কোণ $83.62^\circ$)

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-১ থেকে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$-এর মধ্যবর্তী আদি কোণ, $\alpha = 79.02^\circ$

   $\vec{A}$-এর দিকে $\vec{B}$-এর প্রাথমিক অভিক্ষেপ,
   $B_A = B \cos\alpha = 7 \times \cos(79.02^\circ) = 7 \times \frac{4}{21} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

   প্রশ্নমতে, নতুন অভিক্ষেপ $B'_A$ আদি অভিক্ষেপের এক-চতুর্থাংশ হবে।
   ধরি, পরিবর্তিত মধ্যবর্তী কোণ $\alpha'$
   অতএব, $B \cos\alpha' = \frac{1}{4} \times B_A$
   বা, $7 \cos\alpha' = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$
   বা, $\cos\alpha' = \frac{1}{21}$
   বা, $\alpha' = \cos^{-1}\left(\frac{1}{21}\right) \approx 87.27^\circ$

   অতএব, $\alpha$-এর মানের পরিবর্তন হবে,
   $\Delta\alpha = |\alpha' - \alpha| = 87.27^\circ - 79.02^\circ = 8.25^\circ$

   সুতরাং, $\alpha$-এর মান $8.25^\circ$ বৃদ্ধি পেলে $\vec{A}$-এর উপর $\vec{B}$-এর অভিক্ষেপ পূর্বের এক-চতুর্থাংশ হবে।