উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

∠AOC=90∘,OA=2\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}, \mathrm{OA}=2 এবং P=tan⁡θtan⁡2θtan⁡5θ\mathrm{P}=\tan \theta \tan 2 \theta \tan 5 \theta .

  1. ক)

    A+B+C= π\pi হলে প্রমাণ কর যে,cos⁡2 A+cos⁡2 B+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=1\cos ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~B}+\cos ^{2} \mathrm{C}+2 \cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{C}=1

    (2)
  2. খ)

    চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    θ=40∘\theta=40^{\circ} হলে প্রমাণ কর যে, P=3\mathrm{P}=\sqrt{3} .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, A+B+C=πA + B + C = \pi
    ⇒A+B=π−C\Rightarrow A + B = \pi - C

    বামপক্ষ =cos⁡2A+cos⁡2B+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C
    =12[2cos⁡2A+2cos⁡2B]+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= \frac{1}{2} [2\cos^2 A + 2\cos^2 B] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C
    =12[(1+cos⁡2A)+(1+cos⁡2B)]+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= \frac{1}{2} [(1 + \cos 2A) + (1 + \cos 2B)] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C
    =12[2+(cos⁡2A+cos⁡2B)]+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= \frac{1}{2} [2 + (\cos 2A + \cos 2B)] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C
    =1+12[2cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)]+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= 1 + \frac{1}{2} [2\cos(A+B)\cos(A-B)] + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C
    =1+cos⁡(π−C)cos⁡(A−B)+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= 1 + \cos(\pi - C)\cos(A-B) + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C
    =1−cos⁡Ccos⁡(A−B)+cos⁡2C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= 1 - \cos C \cos(A-B) + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C
    =1−cos⁡C[cos⁡(A−B)−cos⁡C]+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= 1 - \cos C [\cos(A-B) - \cos C] + 2\cos A \cos B \cos C
    =1−cos⁡C[cos⁡(A−B)−cos⁡(π−(A+B))]+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= 1 - \cos C [\cos(A-B) - \cos(\pi - (A+B))] + 2\cos A \cos B \cos C
    =1−cos⁡C[cos⁡(A−B)+cos⁡(A+B)]+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= 1 - \cos C [\cos(A-B) + \cos(A+B)] + 2\cos A \cos B \cos C
    =1−cos⁡C[2cos⁡Acos⁡B]+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= 1 - \cos C [2\cos A \cos B] + 2\cos A \cos B \cos C
    =1−2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C= 1 - 2\cos A \cos B \cos C + 2\cos A \cos B \cos C
    =1== 1 = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক ও চিত্রানুযায়ী,
    বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r=OA=OB=OC=2r = OA = OB = OC = 2 একক।
    দেওয়া আছে, ∠AOC=90∘\angle AOC = 90^\circ এবং চিত্রানুযায়ী ∠AOB=30∘\angle AOB = 30^\circ।
    অতএব, ছায়াঘেরা বৃত্তাংশের জন্য উৎপন্ন কোণ,
    θ=∠BOC=∠AOC−∠AOB=90∘−30∘=60∘=π3\theta = \angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ = \frac{\pi}{3} রেডিয়ান।

    ছায়াঘেরা অংশটি হলো বৃত্তকলা OBCOBC এবং ত্রিভুজ ΔOBC\Delta OBC-এর মধ্যবর্তী বৃত্তাংশ ক্ষেত্রফল।

    বৃত্তকলা OBCOBC-এর ক্ষেত্রফল =12r2θ= \frac{1}{2} r^2 \theta
    =12×22×π3=2π3= \frac{1}{2} \times 2^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} বর্গ একক।

    ΔOBC\Delta OBC-এর ক্ষেত্রফল =12×OB×OC×sin⁡(∠BOC)= \frac{1}{2} \times OB \times OC \times \sin(\angle BOC)
    =12×2×2×sin⁡60∘=2×32=3= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin 60^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} বর্গ একক।

    অতএব, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল =বৃত্তকলা OBC-এর ক্ষেত্রফল−ত্রিভুজ OBC-এর ক্ষেত্রফল= \text{বৃত্তকলা } OBC\text{-এর ক্ষেত্রফল} - \text{ত্রিভুজ } OBC\text{-এর ক্ষেত্রফল}
    =(2π3−3)= \left(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\right) বর্গ একক
    ≈2.0944−1.7321=0.362\approx 2.0944 - 1.7321 = 0.362 বর্গ একক (প্রায়)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, P=tan⁡θtan⁡2θtan⁡5θP = \tan \theta \tan 2\theta \tan 5\theta
    এবং θ=40∘\theta = 40^\circ

    অতএব,
    P=tan⁡40∘tan⁡80∘tan⁡200∘P = \tan 40^\circ \tan 80^\circ \tan 200^\circ
    আমরা জানি, tan⁡200∘=tan⁡(180∘+20∘)=tan⁡20∘\tan 200^\circ = \tan(180^\circ + 20^\circ) = \tan 20^\circ
    সুতরাং,
    P=tan⁡20∘tan⁡40∘tan⁡80∘P = \tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ
    =sin⁡20∘sin⁡40∘sin⁡80∘cos⁡20∘cos⁡40∘cos⁡80∘= \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}

    লবের মান নির্ণয়:
    sin⁡20∘sin⁡40∘sin⁡80∘=12[2sin⁡40∘sin⁡20∘]sin⁡80∘\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{2} [2\sin 40^\circ \sin 20^\circ] \sin 80^\circ
    =12[cos⁡(40∘−20∘)−cos⁡(40∘+20∘)]sin⁡80∘= \frac{1}{2} [\cos(40^\circ - 20^\circ) - \cos(40^\circ + 20^\circ)] \sin 80^\circ
    =12[cos⁡20∘−cos⁡60∘]sin⁡80∘= \frac{1}{2} [\cos 20^\circ - \cos 60^\circ] \sin 80^\circ
    =12[cos⁡20∘−12]sin⁡80∘= \frac{1}{2} \left[\cos 20^\circ - \frac{1}{2}\right] \sin 80^\circ
    =14[2cos⁡20∘sin⁡80∘−sin⁡80∘]= \frac{1}{4} [2\cos 20^\circ \sin 80^\circ - \sin 80^\circ]
    =14[sin⁡(80∘+20∘)+sin⁡(80∘−20∘)−sin⁡80∘]= \frac{1}{4} [\sin(80^\circ + 20^\circ) + \sin(80^\circ - 20^\circ) - \sin 80^\circ]
    =14[sin⁡100∘+sin⁡60∘−sin⁡80∘]= \frac{1}{4} [\sin 100^\circ + \sin 60^\circ - \sin 80^\circ]
    যেহেতু sin⁡100∘=sin⁡(180∘−80∘)=sin⁡80∘\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ, তাই:
    =14[sin⁡80∘+32−sin⁡80∘]=38= \frac{1}{4} [\sin 80^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin 80^\circ] = \frac{\sqrt{3}}{8}

    হরের মান নির্ণয়:
    cos⁡20∘cos⁡40∘cos⁡80∘=12[2cos⁡40∘cos⁡20∘]cos⁡80∘\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{2} [2\cos 40^\circ \cos 20^\circ] \cos 80^\circ
    =12[cos⁡60∘+cos⁡20∘]cos⁡80∘= \frac{1}{2} [\cos 60^\circ + \cos 20^\circ] \cos 80^\circ
    =12[12+cos⁡20∘]cos⁡80∘= \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right] \cos 80^\circ
    =14[cos⁡80∘+2cos⁡80∘cos⁡20∘]= \frac{1}{4} [\cos 80^\circ + 2\cos 80^\circ \cos 20^\circ]
    =14[cos⁡80∘+cos⁡100∘+cos⁡60∘]= \frac{1}{4} [\cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 60^\circ]
    যেহেতু cos⁡100∘=cos⁡(180∘−80∘)=−cos⁡80∘\cos 100^\circ = \cos(180^\circ - 80^\circ) = -\cos 80^\circ, তাই:
    =14[cos⁡80∘−cos⁡80∘+12]=18= \frac{1}{4} [\cos 80^\circ - \cos 80^\circ + \frac{1}{2}] = \frac{1}{8}

    অতএব,
    P=3818=3P = \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}} = \sqrt{3} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন