**সর্বোত্তম অনুমানভিত্তিক উত্তর — আনুষ্ঠানিক উত্তর নয়:** মূল তথ্য বা উত্তরে অস্পষ্টতা/অসম্পূর্ণতা রয়েছে। প্রদত্ত উত্তরটি নিশ্চিত নয়; যাচাই করে ব্যবহার করো।

$R$ এর মান 3N 3N হলে $\alpha$ এর মান হবে—

Question

**সর্বোত্তম অনুমানভিত্তিক উত্তর — আনুষ্ঠানিক উত্তর নয়:** মূল তথ্য বা উত্তরে অস্পষ্টতা/অসম্পূর্ণতা রয়েছে। প্রদত্ত উত্তরটি নিশ্চিত নয়; যাচাই করে ব্যবহার করো।

$R$ এর মান 3N 3N হলে $\alpha$ এর মান হবে—

Accepted Answer

খ. $90^{\circ}$

ব্যাখ্যা: চিত্রানুসারে, O বিন্দুতে তিনটি বল $P = 3	ext{ N}$, $Q = 4	ext{ N}$, এবং $R = 3	ext{ N}$ ক্রিয়ারত এবং তারা সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

লামির উপপাদ্য (Lami's Theorem) বা বলের ত্রিভুজ সূত্রানুযায়ী, বলগুলো সাম্যাবস্থায় থাকলে বলের উপাংশসমূহ পরস্পরকে নিষ্ক্রিয় করবে।

অথবা, $P$ এবং $R$-এর লব্ধি $Q$-এর সমান ও বিপরীতমুখী হবে।
এখানে, $P = 3	ext{ N}$, $R = 3	ext{ N}$ এবং তাদের লব্ধি হতে হবে $Q = 4	ext{ N}$ এর বিপরীতমুখী (অর্থাৎ মান $4	ext{ N}$)। কিন্তু বিকল্পভাবে লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করলে:
$\frac{P}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin 120^\circ}$
যেহেতু $P = 3	ext{ N}$ এবং $R = 3	ext{ N}$, সুতরাং $P = R$।
অতএব, $\sin \alpha = \sin 120^\circ$ বা $\sin(180^\circ - 120^\circ) = \sin 60^\circ$।
তবে চিত্রানুসারে $\alpha$ এবং $120^\circ$ ও অপর কোণের যোগফল $360^\circ$।
অন্যভাবে, যদি $P$ ও $Q$ এর লব্ধি $R$ হয়, তবে:
$R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ\cos 120^\circ$
$R^2 = 3^2 + 4^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}ight) = 9 + 16 - 12 = 13 
eq 3^2$

যদি চিত্রে $R$ হলো $P$ ও $Q$-এর লব্ধির বিপরীত বল না হয়ে, $R$ ও $Q$-এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ হয় এবং $P$-এর রেখা বরাবর ও তার লম্ব বরাবর উপাংশ বিবেচনা করি:
অথবা লামির সূত্র সরাসরি:
$\frac{Q}{\sin 	heta} = \frac{P}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin 120^\circ}$
যেখানে $	heta$ হলো $P$ ও $R$-এর মধ্যবর্তী কোণ।
যেহেতু $P = R = 3	ext{ N}$,
$\frac{3}{\sin \alpha} = \frac{3}{\sin 120^\circ} \implies \sin \alpha = \sin 120^\circ$
সুতরাং $\alpha = 120^\circ$ হতে পারে অথবা সাম্যাবস্থার জ্যামিতি বিবেচনা করলে $360^\circ - 120^\circ - 	heta = \alpha$।
যদি $\alpha = 120^\circ$ হয়, তবে $	heta = 360^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 120^\circ$। সেক্ষেত্রে $Q$ এর মানও ৩N হতে হতো, কিন্তু $Q = 4	ext{ N}$।
প্রকৃতপক্ষে, উচ্চমাধ্যমিক বলবিদ্যায় প্রচলিত প্রশ্নে $R$ হলো $P$ ও $Q$-এর লব্ধি এবং $\alpha$ হলো $P$ ও $R$-এর মধ্যবর্তী কোণ অথবা $Q$ ও $R$-এর কোণ। চিত্রে $\alpha$ চিহ্নিত করা আছে $Q$ ও $R$-এর মধ্যবর্তী কোণ হিসেবে এবং $P$ ও $Q$-এর মধ্যবর্তী কোণ $120^\circ$।
যদি $R$ লব্ধি হয় এবং $R = 3	ext{ N}$ হয়, যেখানে $P = 3	ext{ N}$ ও $P$-এর সমান মান বিশিষ্ট, তবে এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করে যার ফলে $\alpha = 90^\circ$ পাওয়া যায় (বল সাম্যাবস্থায় লম্ব উপাংশ বিবেচনায়)। অতএব সঠিক উত্তর $90^\circ$।

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন