পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশকারী ভেক্টরকে অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, সমান ভেক্টর অবশ্যই সমান্তরাল ভেক্টর।

   ব্যাখ্যা: সমজাতীয় দুটি ভেক্টরের মান যদি সমান হয় এবং দিক একই দিকে হয়, তবে তাদেরকে সমান ভেক্টর বলে। অন্যদিকে, দুটি ভেক্টর যদি একই দিকে বা বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল থাকে (অর্থাৎ তাদের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল হয়), তবে তাদেরকে সমান্তরাল ভেক্টর বলে। যেহেতু সমান ভেক্টরদ্বয়ের দিক সর্বদা একই দিকে থাকে এবং তাদের ধারক রেখা একই বা পরস্পর সমান্তরাল হয়, তাই যেকোনো সমান ভেক্টর যুগল সর্বদা সমান্তরাল ভেক্টর। তবে সকল সমান্তরাল ভেক্টর সমান নয়, কারণ সমান্তরাল ভেক্টরদ্বয়ের মান ভিন্ন হতে পারে কিংবা দিক পরস্পর বিপরীতমুখীও হতে পারে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k}$
   $\vec{B} = \sqrt{3}\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$

   ধরি, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$।

   আমরা জানি, ডট গুণনের সংজ্ঞানুযায়ী,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta$

   এখানে,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{2})(3) + (-\sqrt{3})(-2) = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$
   $\approx 4(1.73205) + 3(1.41421) = 6.9282 + 4.2426 = 11.1708$

   ভেক্টরদ্বয়ের মান:
   $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 2 + 3} = \sqrt{9} = 3$
   $|\vec{B}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{3 + 9 + 4} = \sqrt{16} = 4$

   অতএব,
   $\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{3 \times 4} = \frac{11.1708}{12} \approx 0.9309$

   $\therefore \theta = \cos^{-1}(0.9309) \approx 21.43^\circ$

   সুতরাং, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ প্রায় $21.43^\circ$ (বা $21.427^\circ$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ক্ষেত্র কতটা জায়গা দখল করবে তা তার ক্ষেত্রফলের ওপর নির্ভর করে।

   প্রথম ত্রিভুজটির সন্নিহিত বাহুদ্বয় $\vec{A}$ ও $\vec{B}$।
   সুতরাং, প্রথম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, $S_1 = \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}|$

   দ্বিতীয় ত্রিভুজটির সন্নিহিত বাহুদ্বয় $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$।
   উদ্দীপক অনুসারে,
   $\vec{P} = 3\vec{A}$ এবং $\vec{Q} = \frac{1}{2}\vec{B}$

   অতএব, দ্বিতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
   $S_2 = \frac{1}{2} |\vec{P} \times \vec{Q}|$
   $= \frac{1}{2} |(3\vec{A}) \times (\frac{1}{2}\vec{B})|$
   $= \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} |\vec{A} \times \vec{B}|$
   $= \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}| \right)$
   $= 1.5 \times S_1$

   যেহেতু $S_2 = 1.5 S_1$, অর্থাৎ দ্বিতীয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল প্রথম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের ১.৫ গুণ ($S_2 > S_1$)।

   সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে দ্বিতীয় ত্রিভুজটি অধিক জায়গা দখল করবে।