পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলকের প্রতিটি সম্ভাব্য মান এবং তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ওই চলকটির গাণিতিক প্রত্যাশা বলে। চলক X বিচ্ছিন্ন হলে, E(X) = ∑ x·P(x)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   না, E(X²) এর মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

   ব্যাখ্যা: বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা x-এর জন্য x² ≥ 0 অর্থাৎ চলকের বর্গের মান সর্বদা অঋণাত্মক হয়। এছাড়া সম্ভাবনা P(x)-এর মানও সর্বদা অঋণাত্মক (P(x) ≥ 0)।
   সুতরাং, E(X²) = ∑ x²·P(x)-এর প্রতিটি পদই অঋণাত্মক মানের গুণফল। একাধিক অঋণাত্মক মানের সমষ্টি সর্বদা অঋণাত্মক বা শূন্যের সমান বা বড় (E(X²) ≥ 0) হয়। তাই E(X²) এর মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, শো-রুম 'A' এর দৈনিক গাড়ি বিক্রয়ের সংখ্যা $X_A$।
   উদ্দীপক অনুসারে, শো-রুম 'A'-এর ক্ষেত্রে বিক্রয়ের সংখ্যা ও সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা হলো:
   $P(X_A = 0) = 0.05$
   $P(X_A = 1) = 0.25$
   $P(X_A = 2) = 0.30$
   $P(X_A = 3) = 0.35$
   $P(X_A = 4) = 0.05$

   একদিনে কমপক্ষে দুটি গাড়ি বিক্রয় হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(X_A \ge 2) = P(X_A = 2) + P(X_A = 3) + P(X_A = 4)$
   = 0.30 + 0.35 + 0.05
   = 0.70

   অতএব, শো-রুম 'A' এর ক্ষেত্রে একদিনে কমপক্ষে দুটি গাড়ি বিক্রয় হওয়ার সম্ভাবনা 0.70।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ক্রেতাদের কাছে কোন শো-রুমটি বেশি জনপ্রিয় তা নির্ধারণের জন্য উভয় শো-রুমের দৈনিক গড় বিক্রয়ের পরিমাণ অর্থাৎ গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় করতে হবে। যে শো-রুমের দৈনিক গাড়ি বিক্রয়ের গাণিতিক প্রত্যাশা বেশি, সেটি ক্রেতাদের কাছে বেশি জনপ্রিয় বিবেচিত হবে।

   শো-রুম 'A' এর দৈনিক গাড়ি বিক্রয়ের গাণিতিক প্রত্যাশা, $E(X_A)$:
   $E(X_A) = \sum x \cdot P(X_A = x)$
   $= 0 \times 0.05 + 1 \times 0.25 + 2 \times 0.30 + 3 \times 0.35 + 4 \times 0.05$
   $= 0 + 0.25 + 0.60 + 1.05 + 0.20$
   $= 2.10$

   শো-রুম 'B' এর দৈনিক গাড়ি বিক্রয়ের গাণিতিক প্রত্যাশা, $E(X_B)$:
   $E(X_B) = \sum x \cdot P(X_B = x)$
   $= 0 \times 0.05 + 1 \times 0.20 + 2 \times 0.20 + 3 \times 0.35 + 4 \times 0.20$
   $= 0 + 0.20 + 0.40 + 1.05 + 0.80$
   $= 2.45$

   যেহেতু $E(X_B) > E(X_A)$ (অর্থাৎ $2.45 > 2.10$),
   সুতরাং শো-রুম 'B'-তে দৈনিক গড়ে শো-রুম 'A'-এর চেয়ে বেশি গাড়ি বিক্রিত হয়।
   অতএব, উদ্দীপকের আলোকে ক্রেতাদের কাছে শো-রুম 'B' বেশি জনপ্রিয়।