উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১ : msin⁡α+nsin⁡β=P=mcos⁡α+ncos⁡βm \sin \alpha+n \sin \beta=P=m \cos \alpha+n \cos \beta দৃশ্যকল্প-২ : sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y)\sin x+\sin y=2 \sin (x+y)

  1. ক)

    ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যেখানে a=2⋅5,c=3⋅5a=2 \cdot 5, c=3 \cdot 5 এবং B=30∘B=30^{\circ} .

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে দেখাও যে, cos⁡α−β2=±2p2−(m−n)24mn\cos \frac{\alpha-\beta}{2}= \pm \sqrt{\frac{2 p^{2}-(m-n)^{2}}{4 m n}} .

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এ x+y≠0x+y \neq 0 হলে দেখাও যে, tan⁡x2⋅tan⁡y2=13\tan \frac{x}{2} \cdot \tan \frac{y}{2}=\frac{1}{3} .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, Δ=12acsin⁡B\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B
    দেওয়া আছে, a=2.5a = 2.5, c=3.5c = 3.5 এবং B=30∘B = 30^{\circ}
    ∴Δ=12×2.5×3.5×sin⁡30∘\therefore \Delta = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 3.5 \times \sin 30^{\circ}
    =12×8.75×12= \frac{1}{2} \times 8.75 \times \frac{1}{2}
    =8.754=2.1875= \frac{8.75}{4} = 2.1875 বা 3516\frac{35}{16} বর্গ একক। (উত্তর)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    msin⁡α+nsin⁡β=Pm\sin \alpha + n\sin \beta = P .... (i)
    এবং mcos⁡α+ncos⁡β=Pm\cos \alpha + n\cos \beta = P .... (ii)

    (i) ও (ii) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
    (msin⁡α+nsin⁡β)2+(mcos⁡α+ncos⁡β)2=P2+P2(m\sin \alpha + n\sin \beta)^2 + (m\cos \alpha + n\cos \beta)^2 = P^2 + P^2
    ⇒m2(sin⁡2α+cos⁡2α)+n2(sin⁡2β+cos⁡2β)+2mn(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)=2P2\Rightarrow m^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + n^2(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2mn(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2P^2
    ⇒m2(1)+n2(1)+2mncos⁡(α−β)=2P2\Rightarrow m^2(1) + n^2(1) + 2mn\cos(\alpha - \beta) = 2P^2
    ⇒2mncos⁡(α−β)=2P2−m2−n2\Rightarrow 2mn\cos(\alpha - \beta) = 2P^2 - m^2 - n^2
    ⇒2mn(2cos⁡2α−β2−1)=2P2−m2−n2\Rightarrow 2mn(2\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} - 1) = 2P^2 - m^2 - n^2
    ⇒4mncos⁡2α−β2−2mn=2P2−m2−n2\Rightarrow 4mn\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} - 2mn = 2P^2 - m^2 - n^2
    ⇒4mncos⁡2α−β2=2P2−m2−n2+2mn\Rightarrow 4mn\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = 2P^2 - m^2 - n^2 + 2mn
    ⇒4mncos⁡2α−β2=2P2−(m2−2mn+n2)\Rightarrow 4mn\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = 2P^2 - (m^2 - 2mn + n^2)
    ⇒4mncos⁡2α−β2=2P2−(m−n)2\Rightarrow 4mn\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = 2P^2 - (m - n)^2
    ⇒cos⁡2α−β2=2P2−(m−n)24mn\Rightarrow \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{2P^2 - (m - n)^2}{4mn}
    ∴cos⁡α−β2=±2P2−(m−n)24mn\therefore \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = \pm \sqrt{\frac{2P^2 - (m - n)^2}{4mn}} (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ থেকে পাই,
    sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y)\sin x + \sin y = 2\sin(x + y)
    ⇒2sin⁡x+y2cos⁡x−y2=2⋅2sin⁡x+y2cos⁡x+y2\Rightarrow 2\sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} = 2 \cdot 2\sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x + y}{2}

    যেহেতু x+y≠0x + y \neq 0, তাই sin⁡x+y2≠0\sin \frac{x + y}{2} \neq 0।
    উভয়পক্ষকে 2sin⁡x+y22\sin \frac{x + y}{2} দ্বারা ভাগ করে পাই,
    cos⁡x−y2=2cos⁡x+y2\cos \frac{x - y}{2} = 2\cos \frac{x + y}{2}
    ⇒cos⁡x−y2cos⁡x+y2=21\Rightarrow \frac{\cos \frac{x - y}{2}}{\cos \frac{x + y}{2}} = \frac{2}{1}

    বিয়োজন-যোজন করে পাই,
    cos⁡x−y2−cos⁡x+y2cos⁡x−y2+cos⁡x+y2=2−12+1\frac{\cos \frac{x - y}{2} - \cos \frac{x + y}{2}}{\cos \frac{x - y}{2} + \cos \frac{x + y}{2}} = \frac{2 - 1}{2 + 1}
    ⇒2sin⁡x2sin⁡y22cos⁡x2cos⁡y2=13\Rightarrow \frac{2\sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2}}{2\cos \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2}} = \frac{1}{3}
    ⇒tan⁡x2⋅tan⁡y2=13\Rightarrow \tan \frac{x}{2} \cdot \tan \frac{y}{2} = \frac{1}{3} (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন