উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • অন্তরীকরণ • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

t=xxln⁡x,y=sin⁡(msin⁡−1x)h(x)=2x3−21x2+36x−20\begin{array}{l}t=x^{x} \ln x, y=\sin \left(m \sin ^{-1} x\right) \\ h(x)=2 x^{3}-21 x^{2}+36 x-20\end{array}

  1. ক)

    dtdx\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}} নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, (1−x2)y2−xy1+m2y=0\left(1-x^{2}\right) y_{2}-x y_{1}+m^{2} y=0 .

    (4)
  3. গ)

    h(x) এর সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, t=xxln⁡xt = x^x \ln x

    ধরি, z=xxz = x^x
    উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে,
    ln⁡z=ln⁡(xx)=xln⁡x\ln z = \ln(x^x) = x \ln x

    উভয়পক্ষকে xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    1zdzdx=1⋅ln⁡x+x⋅1x=1+ln⁡x\frac{1}{z} \frac{dz}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \ln x
    ∴dzdx=z(1+ln⁡x)=xx(1+ln⁡x)\therefore \frac{dz}{dx} = z(1 + \ln x) = x^x (1 + \ln x)

    এখন, t=z⋅ln⁡xt = z \cdot \ln x
    xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
    dtdx=dzdx⋅ln⁡x+z⋅ddx(ln⁡x)\frac{dt}{dx} = \frac{dz}{dx} \cdot \ln x + z \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)
    =xx(1+ln⁡x)ln⁡x+xx⋅1x= x^x (1 + \ln x) \ln x + x^x \cdot \frac{1}{x}
    =xx[ln⁡x+(ln⁡x)2+1x]= x^x \left[ \ln x + (\ln x)^2 + \frac{1}{x} \right]

    অতএব, dtdx=xx((ln⁡x)2+ln⁡x+1x)\frac{dt}{dx} = x^x \left( (\ln x)^2 + \ln x + \frac{1}{x} \right)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, y=sin⁡(msin⁡−1x)y = \sin(m \sin^{-1} x)

    xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    y1=cos⁡(msin⁡−1x)⋅ddx(msin⁡−1x)y_1 = \cos(m \sin^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(m \sin^{-1} x)
    y1=cos⁡(msin⁡−1x)⋅m1−x2y_1 = \cos(m \sin^{-1} x) \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^2}}

    বজ্রগুণন করে পাই,
    1−x2y1=mcos⁡(msin⁡−1x)\sqrt{1-x^2} y_1 = m \cos(m \sin^{-1} x)

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    (1−x2)y12=m2cos⁡2(msin⁡−1x)(1-x^2) y_1^2 = m^2 \cos^2(m \sin^{-1} x)
    ⇒(1−x2)y12=m2[1−sin⁡2(msin⁡−1x)]\Rightarrow (1-x^2) y_1^2 = m^2 [1 - \sin^2(m \sin^{-1} x)]
    ⇒(1−x2)y12=m2(1−y2)\Rightarrow (1-x^2) y_1^2 = m^2 (1 - y^2)

    পুনরায় xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    (1−x2)⋅2y1y2+y12(−2x)=m2(−2yy1)(1-x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2(-2x) = m^2(-2y y_1)
    ⇒2y1[(1−x2)y2−xy1]=−2m2yy1\Rightarrow 2y_1 \left[ (1-x^2)y_2 - x y_1 \right] = -2m^2 y y_1

    উভয়পক্ষকে 2y12y_1 দ্বারা ভাগ করে পাই,
    (1−x2)y2−xy1=−m2y(1-x^2)y_2 - x y_1 = -m^2 y
    ⇒(1−x2)y2−xy1+m2y=0\Rightarrow (1-x^2)y_2 - x y_1 + m^2 y = 0 (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, h(x)=2x3−21x2+36x−20h(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20

    xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
    h′(x)=6x2−42x+36h'(x) = 6x^2 - 42x + 36
    h′′(x)=12x−42h''(x) = 12x - 42

    সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানের জন্য, h′(x)=0h'(x) = 0
    ⇒6x2−42x+36=0\Rightarrow 6x^2 - 42x + 36 = 0
    ⇒x2−7x+6=0\Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0
    ⇒(x−1)(x−6)=0\Rightarrow (x - 1)(x - 6) = 0
    ∴x=1\therefore x = 1 অথবা x=6x = 6

    এখন,
    x=1x = 1 হলে, h′′(1)=12(1)−42=−30<0h''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0
    সুতরাং, x=1x = 1 বিন্দুতে h(x)h(x) এর সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।
    সর্বোচ্চ মান, h(1)=2(1)3−21(1)2+36(1)−20=2−21+36−20=−3h(1) = 2(1)^3 - 21(1)^2 + 36(1) - 20 = 2 - 21 + 36 - 20 = -3

    আবার,
    x=6x = 6 হলে, h′′(6)=12(6)−42=72−42=30>0h''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0
    সুতরাং, x=6x = 6 বিন্দুতে h(x)h(x) এর সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।
    সর্বনিম্ন মান, h(6)=2(6)3−21(6)2+36(6)−20h(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20
    =2(216)−21(36)+216−20= 2(216) - 21(36) + 216 - 20
    =432−756+216−20=−128= 432 - 756 + 216 - 20 = -128

    অতএব, h(x)h(x) এর সর্বোচ্চ মান −3-3 এবং সর্বনিম্ন মান −128-128।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন