পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো গতিশীল বস্তুর সাপেক্ষে অপর কোনো গতিশীল বা স্থির বস্তুর বেগকে আপেক্ষিক বেগ বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বালির ওপর দিয়ে হাঁটা কষ্টসাধ্য কারণ বালির ক্ষেত্রে নিউটনের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী পর্যাপ্ত প্রতিক্রিয়া বল পাওয়া যায় না।

   আমরা যখন মাটিতে হাঁটি, তখন পা দিয়ে মাটির ওপর তির্যকভাবে একটি ক্রিয়া বল প্রয়োগ করি এবং নিউটনের তৃতীয় সূত্রানুসারে মাটিও সমমানের বিপরীত প্রতিক্রিয়া বল দেয়। এই প্রতিক্রিয়া বলের অনুভূমিক উপাংশ আমাদের সামনে এগিয়ে যেতে সাহায্য করে। কিন্তু বালির ওপর বল প্রয়োগ করলে বালির কণাগুলো সরে যায় বা দেবে যায়, ফলে পর্যাপ্ত প্রতিক্রিয়া বল তৈরি হতে পারে না। তাই বালির ওপর হাঁটা কষ্টসাধ্য হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
   $\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$

   $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ সন্নিহিত বাহুবিশিষ্ট সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $|\vec{A} \times \vec{B}|$

   এখন,
   $\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}(-3 - 2) - \hat{j}(-6 - (-1)) + \hat{k}(-4 - 1)$
   $= \hat{i}(-5) - \hat{j}(-5) + \hat{k}(-5)$
   $= -5\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$

   অতএব, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল,
   $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-5)^2 + (5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8.66\text{ বর্গ একক}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
   $\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$

   এদের মান:
   $|\vec{A}| = A = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
   $|\vec{B}| = B = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

   ডট গুণন:
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(-3) = 2 - 2 + 3 = 3$

   যদি প্রাথমিক অবস্থায় মধ্যবর্তী কোণ $\theta_1$ হয়, তবে
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos\theta_1$
   বা, $\cos\theta_1 = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{84}} \approx \frac{3}{9.165} \approx 0.3273$
   $\therefore \theta_1 = \cos^{-1}(0.3273) \approx 70.89^\circ$

   এখন, ডট ও ক্রস গুণনের মান সমান হতে হলে:
   $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A} \cdot \vec{B}|$
   বা, $A B \sin\theta_2 = A B \cos\theta_2$
   বা, $\tan\theta_2 = 1$
   বা, $\theta_2 = 45^\circ$ (যেহেতু $0^\circ \le \theta_2 \le 180^\circ$, অপর মান $\theta_2 = 135^\circ$ এ ক্রস ও ডটের মান সমান হবে কারণ $| \cos 135^\circ| = \sin 135^\circ$)

   যদি মধ্যবর্তী কোণ $\theta_2 = 45^\circ$ হয়:
   কোণের পরিবর্তন $\Delta\theta = |70.89^\circ - 45^\circ| = 25.89^\circ$

   আবার $\theta_2 = 135^\circ$ হলে:
   কোণের পরিবর্তন $\Delta\theta = |135^\circ - 70.89^\circ| = 64.11^\circ$

   সুতরাং, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান নির্দিষ্ট পরিমাণ ($25.89^\circ$ হ্রাস করে বা $64.11^\circ$ বৃদ্ধি করে) পরিবর্তন করলে ডট গুণন ও ক্রস গুণনের মান পরস্পর সমান হয়। অতএব, অনিকের পর্যবেক্ষণটি যথার্থ।