পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যানবাহন যেন বাঁকা পথে নিরাপদে নির্বিঘ্নে মোড় নিতে পারে, সেজন্য রাস্তার ভেতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাইরের প্রান্তকে কিছুটা উঁচু করে তৈরি করাকে রাস্তার ব্যাংকিং বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তিনটি ভেক্টর একই সমতলে ক্রিয়াশীল থেকে যদি একটি ত্রিভুজের ক্রমানুসারে গৃহীত তিনটি বাহু দ্বারা মান ও অভিমুখে সূচিত হয়, তবে তাদের লব্ধি শূন্য হয়।

   অন্যভাবে বলা যায়, যেকোনো দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান যদি তৃতীয় ভেক্টরটির মানের সমান এবং দিক বিপরীতমুখী হয়, তবে তিনটি ভেক্টরের সামগ্রিক লব্ধি শূন্য হবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়:
   $\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
   $\vec{B} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$

   $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ উভয়ের লম্ব বরাবর একটি ভেক্টর হলো তাদের ক্রস গুণন $\vec{A} \times \vec{B}$:
   $\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}(4 - 3) - \hat{j}(4 - (-6)) + \hat{k}(-6 - 12)$
   $= 1\hat{i} - 10\hat{j} - 18\hat{k}$

   এর মান,
   $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + (-18)^2} = \sqrt{1 + 100 + 324} = \sqrt{425} = 5\sqrt{17}$

   অতএব, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের লম্বদিকে একক ভেক্টর:
   $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} = \pm \frac{\hat{i} - 10\hat{j} - 18\hat{k}}{\sqrt{425}} = \pm \frac{1}{5\sqrt{17}}(\hat{i} - 10\hat{j} - 18\hat{k})$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{C}$ অঘূর্ণনশীল হবে যদি তার কার্ল শূন্য হয়, অর্থাৎ $\vec{\nabla} \times \vec{C} = \vec{0}$ হয়।

   উদ্দীপকে প্রদত্ত:
   $\vec{C} = (6xy + z^3)\hat{i} - (3x^2 - z)\hat{j} + (3xz^2 - y)\hat{k}$

   এখন, $\vec{\nabla} \times \vec{C}$ নির্ণয় করি:
   $\vec{\nabla} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xy+z^3 & -(3x^2-z) & 3xz^2-y \end{vmatrix}$

   $= \hat{i}\left[\frac{\partial}{\partial y}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(-(3x^2 - z))\right]$
   $- \hat{j}\left[\frac{\partial}{\partial x}(3xz^2 - y) - \frac{\partial}{\partial z}(6xy + z^3)\right]$
   $+ \hat{k}\left[\frac{\partial}{\partial x}(-(3x^2 - z)) - \frac{\partial}{\partial y}(6xy + z^3)\right]$

   আংশিক ব্যবকলন করে পাই:
   $= \hat{i}[-1 - (1)] - \hat{j}[3z^2 - 3z^2] + \hat{k}[-6x - 6x]$
   $= -2\hat{i} - 0\hat{j} - 12x\hat{k}$
   $= -2\hat{i} - 12x\hat{k}$

   যেহেতু $\vec{\nabla} \times \vec{C} \neq \vec{0}$, তাই কার্লের মান অশূন্য।

   সুতরাং, উদ্দীপকের $\vec{C}$ ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল নয়, বরং এটি একটি ঘূর্ণনশীল ভেক্টর।