উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: A=3sin⁡−112+cos⁡−125A = 3\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}
দৃশ্যকল্প-২: f(x)=cos⁡(π2−x)f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)

  1. ক)

    cos⁡−1sin⁡cos⁡−112\cos^{-1} \sin \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} এর মুখ্য মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, A=tan⁡−13A = \tan^{-1} 3.

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে 2{f(x)}2−11f(x)+5=02\{f(x)\}^2 - 11 f(x) + 5 = 0, সমীকরণটির সমাধান কর। যেখানে 0≤x≤2π0 \leq x \leq 2\pi.

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-১ এ '3sin⁡−13\sin^{-1}' এর স্থলে 'sin⁡−1\sin^{-1}' হওয়া স্বাভাবিক বোর্ড প্রশ্নের মূল রূপ ছিল, কারণ তাতেই 'A=tan⁡−13A = \tan^{-1} 3' প্রমাণ সম্ভব।

    প্রদত্ত রাশি:
    cos⁡−1(sin⁡(cos⁡−112))\cos^{-1}\left(\sin\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)

    আমরা জানি, cos⁡−1(12)=π4\cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}

    অতএব,
    sin⁡(cos⁡−112)=sin⁡(π4)=12\sin\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}

    সুতরাং,
    cos⁡−1(sin⁡(cos⁡−112))=cos⁡−1(12)=π4\cos^{-1}\left(\sin\left(\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}

    নির্ণেয় মুখ্য মান: π4\frac{\pi}{4}

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-১ এ '3sin⁡−13\sin^{-1}' এর স্থলে 'sin⁡−1\sin^{-1}' হওয়া স্বাভাবিক বোর্ড প্রশ্নের মূল রূপ ছিল, কারণ তাতেই 'A=tan⁡−13A = \tan^{-1} 3' প্রমাণ সম্ভব।

    দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সমীকরণে একটি দৃশ্যমান মুদ্রণ ত্রুটি রয়েছে।

    [সংশোধিত রূপানুযায়ী প্রমাণ (উদ্দিষ্ট প্রশ্ন)]:
    ধরি উদ্দীপকটি: A=sin⁡−112+cos⁡−125A = \sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}
    আমরা জানি, sin⁡−112=tan⁡−1(1)=π4\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
    আবার, ধরি θ=cos⁡−125\theta = \cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}
    ∴cos⁡θ=25  ⟹  tan⁡θ=(5)2−222=12  ⟹  θ=tan⁡−112\therefore \cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}} \implies \tan\theta = \frac{\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}}{2} = \frac{1}{2} \implies \theta = \tan^{-1}\frac{1}{2}

    অতএব,
    A=tan⁡−1(1)+tan⁡−1(12)A = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)
      ⟹  A=tan⁡−1(1+121−1⋅12)\implies A = \tan^{-1}\left(\frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{2}}\right)
      ⟹  A=tan⁡−1(3212)=tan⁡−13\implies A = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\right) = \tan^{-1} 3 (দেখানো হলো)।

    [হুবহু প্রদত্ত প্রশ্নানুযায়ী]:
    A=3sin⁡−112+cos⁡−125=3(π4)+tan⁡−112=3π4+tan⁡−112A = 3\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}} = 3\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan^{-1}\frac{1}{2} = \frac{3\pi}{4} + \tan^{-1}\frac{1}{2}
    tan⁡A=tan⁡(3π4+tan⁡−112)=tan⁡3π4+121−tan⁡3π4⋅12=−1+121−(−1)(12)=−1232=−13\tan A = \tan\left(\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1}\frac{1}{2}\right) = \frac{\tan\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}}{1 - \tan\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-1 + \frac{1}{2}}{1 - (-1)\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}
    এক্ষেত্রে A=π−tan⁡−113≠tan⁡−13A = \pi - \tan^{-1}\frac{1}{3} \neq \tan^{-1} 3।

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: দৃশ্যকল্প-১ এ '3sin⁡−13\sin^{-1}' এর স্থলে 'sin⁡−1\sin^{-1}' হওয়া স্বাভাবিক বোর্ড প্রশ্নের মূল রূপ ছিল, কারণ তাতেই 'A=tan⁡−13A = \tan^{-1} 3' প্রমাণ সম্ভব।

    দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,
    f(x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡xf(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    2{f(x)}2−11f(x)+5=02\{f(x)\}^2 - 11f(x) + 5 = 0
      ⟹  2sin⁡2x−11sin⁡x+5=0\implies 2\sin^2 x - 11\sin x + 5 = 0
      ⟹  2sin⁡2x−10sin⁡x−sin⁡x+5=0\implies 2\sin^2 x - 10\sin x - \sin x + 5 = 0
      ⟹  2sin⁡x(sin⁡x−5)−1(sin⁡x−5)=0\implies 2\sin x(\sin x - 5) - 1(\sin x - 5) = 0
      ⟹  (2sin⁡x−1)(sin⁡x−5)=0\implies (2\sin x - 1)(\sin x - 5) = 0

    যেহেতু যেকোনো বাস্তব xx এর জন্য −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1, তাই sin⁡x−5≠0\sin x - 5 \neq 0।

    সুতরাং,
    2sin⁡x−1=02\sin x - 1 = 0
      ⟹  sin⁡x=12\implies \sin x = \frac{1}{2}

    যেহেতু শর্তানুযায়ী 0≤x≤2π0 \leq x \leq 2\pi:
    ১ম চতুর্ভাগে: x=π6x = \frac{\pi}{6}
    ২য় চতুর্ভাগে: x=π−π6=5π6x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

    নির্ণেয় সমাধান: x=π6,5π6x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন