উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, ধারাটির যোগফল $S = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3\cdot5}{4\cdot8} + \frac{3\cdot5\cdot7}{4\cdot8\cdot12} + \cdots \infty$

আমরা জানি,
$(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!} x^3 + \cdots$

উভয় পাশের পদ তুলনা করে পাই:
$nx = \frac{3}{4}$ ... (i)
$\frac{n(n+1)}{2} x^2 = \frac{3\cdot5}{4\cdot8} = \frac{15}{32}$ ... (ii)

(ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণের বর্গ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{\frac{n(n+1)}{2} x^2}{n^2 x^2} = \frac{15}{32} / \frac{9}{16}$
বা, $\frac{n+1}{2n} = \frac{15}{32} \times \frac{16}{9} = \frac{5}{6}$
বা, $6n + 6 = 10n$
বা, $4n = 6$
বা, $n = \frac{3}{2}$

n এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$\frac{3}{2} x = \frac{3}{4}$
বা, $x = \frac{1}{2}$

যেহেতু $|x| = \frac{1}{2} < 1$, সুতরাং ধারাটি অভিসারী।

অতএব, নির্ণেয় সমষ্টি:
$S = (1 - x)^{-n}$
$= (1 - \frac{1}{2})^{-3/2}$
$= (\frac{1}{2})^{-3/2}$
$= 2^{3/2}$
$= 2\sqrt{2}$

উত্তর: $2\sqrt{2}$