পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তর করার প্রক্রিয়াই হলো গ্রেডিয়েন্ট। অর্থাৎ, একটি স্কেলার ফাংশনের ওপর ভেক্টর ব্যবকলনীয় অপারেটর (∇) প্রয়োগ করলে যে ভেক্টর ক্ষেত্র পাওয়া যায়, তাকে ঐ স্কেলার ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ভেক্টরের ডাইভারজেন্সের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলো নিম্নরূপ:
   ১. ডাইভারজেন্স একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তরিত করে।
   ২. ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হলে কোনো বিন্দু থেকে ফ্লাক্সের বহির্মুখী নির্গমন বা আয়তনের প্রসারণ নির্দেশ করে (ঘনত্ব হ্রাস পায়)।
   ৩. ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক হলে ফ্লাক্সের অন্তর্মুখী প্রবাহ বা সংকোচন নির্দেশ করে (ঘনত্ব বৃদ্ধি পায়)।
   ৪. কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স শূন্য হলে ক্ষেত্রটিকে সলিনয়ডাল (Solenoidal) বলা হয়, অর্থাৎ কোনো বিন্দুতে যত পরিমাণ ফ্লাক্স প্রবেশ করে ঠিক সমপরিমাণ ফ্লাক্স নির্গত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, ঘূর্ণন অক্ষ AB দণ্ডটির এক প্রান্ত দিয়ে এবং দৈর্ঘ্যের সাথে লম্বভাবে অতিক্রম করেছে।

   আমরা জানি,
   এক প্রান্তগামী ও দৈর্ঘ্যের সাথে লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে কোনো সুষম দণ্ডের জড়তার ভ্রামক,
   $I = (1/3) M l^{2}$

   এখানে দেওয়া আছে,
   দণ্ডটির ভর, $M = 0.5\text{ kg}$
   দণ্ডটির দৈর্ঘ্য, $l = 1\text{ m}$

   সুতরাং,
   $I = (1/3) \times 0.5 \times (1)^{2}$
   $= 0.5 / 3$
   $\approx 0.167\text{ kg m}^{2}$

   অতএব, দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক $0.167\text{ kg m}^{2}$ (বা $1/6\text{ kg m}^{2}$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দণ্ডটিকে পাতলা চাকতিতে পরিণত করা হলে তার জড়তার ভ্রামকের পরিবর্তন হবে। নিচে গাণিতিক বিশ্লেষণ দেওয়া হলো:

   'গ' হতে পাই,
   দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক, $I = 1/6\text{ kg m}^{2} \approx 0.167\text{ kg m}^{2}$

   এখন, দণ্ডটিকে 1 m ব্যাসের একটি পাতলা বৃত্তাকার চাকতিতে পরিণত করা হলে—
   চাকতির ভর অপরিবর্তিত থাকবে, $M = 0.5\text{ kg}$
   চাকতির ব্যাস, $d = 1\text{ m}$
   সুতরাং, চাকতির ব্যাসার্ধ, $R = d / 2 = 1 / 2 = 0.5\text{ m}$

   চাকতির কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে এবং চাকতির তলের সাথে লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক,
   $I' = (1/2) M R^{2}$
   $= (1/2) \times 0.5 \times (0.5)^{2}$
   $= 0.5 \times 0.5 \times 0.25$
   $= 0.0625\text{ kg m}^{2}$ (বা $1/16\text{ kg m}^{2}$)

   [বিকল্পভাবে, চাকতির ব্যাস সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক বিবেচনা করলে, $I_d = (1/4) M R^{2} = 0.03125\text{ kg m}^{2}$]

   যেহেতু $I' \neq I$ (বা $0.0625\text{ kg m}^{2} < 0.167\text{ kg m}^{2}$),
   কাজেই জড়তার ভ্রামক হ্রাস পাবে।

   অতএব, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, দণ্ডটিকে পাতলা চাকতিতে পরিণত করলে জড়তার ভ্রামকের পরিবর্তন হবে এবং জড়তার ভ্রামক হ্রাস পেয়ে $0.0625\text{ kg m}^{2}$ হবে।