উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • ফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১ঃ A কলেজ থেকে একজন সাইকেল আরোহী প্রতি মিনিটে 250 মিটার বেগে B কলেজে পৌছাল। কলেজ দুটি পৃথিবীর কেন্দ্রে 1°5′1\degree5' কোণ উৎপন্ন করে।দৃশ্যকল্প-২ঃ f(x)=sin⁡(x4)f\left(x\right)=\sin\left(\frac{x}{4}\right)

  1. ক)

    tan⁡θ=512, π<θ<3x2\tan\theta=\frac{5}{12},\ \pi<\theta<\frac{3x}{2} হলে, sin⁡(−θ)+cos⁡θ\sin\left(-\theta\right)+\cos\theta এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6440 কি. মি. হলে সাইকেল আরোহীর A কলেজ থেকে B কলেজে যেতে কত ঘন্টা সময় লাগবে তা নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    y=(8x);=−π≤x≤πy=\left(8x\right);=-\pi\le x\le\pi এর লেখচিত্র অংকন কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে '3x/2' টাইপোটিকে মানক বোর্ড প্রশ্ন অনুসারে ′3π/2′'3\pi/2' ধরা হয়েছে। | গ অংশে ′y=(8x);=−π≤x≤π′'y=(8x);=-\pi\le x\le\pi' টাইপোটিকে দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে ′y=f(8x);−π≤x≤π′'y = f(8x); -\pi \le x \le \pi' হিসেবে পুনর্গঠন করা হয়েছে।

    দেওয়া আছে, tan⁡θ=512\tan\theta = \frac{5}{12} এবং π<θ<3π2\pi < \theta < \frac{3\pi}{2} (অর্থাৎ θ\theta তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত)।
    তৃতীয় চতুর্ভাগে sin⁡θ\sin\theta ও cos⁡θ\cos\theta উভয়ই ঋণাত্মক।

    আমরা জানি,
    sec⁡2θ=1+tan⁡2θ=1+(512)2=1+25144=169144\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 1 + \left(\frac{5}{12}\right)^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}
      ⟹  sec⁡θ=−169144=−1312\implies \sec\theta = -\sqrt{\frac{169}{144}} = -\frac{13}{12} [যেহেতু θ\theta তৃতীয় চতুর্ভাগে]
    ∴cos⁡θ=−1213\therefore \cos\theta = -\frac{12}{13}

    আবার,
    sin⁡θ=tan⁡θ⋅cos⁡θ=512×(−1213)=−513\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = \frac{5}{12} \times \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{5}{13}

    প্রদত্ত রাশি:
    sin⁡(−θ)+cos⁡θ=−sin⁡θ+cos⁡θ\sin(-\theta) + \cos\theta = -\sin\theta + \cos\theta
    =−(−513)+(−1213)= -\left(-\frac{5}{13}\right) + \left(-\frac{12}{13}\right)
    =513−1213=−713= \frac{5}{13} - \frac{12}{13} = -\frac{7}{13} (Ans.)

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে '3x/2' টাইপোটিকে মানক বোর্ড প্রশ্ন অনুসারে ′3π/2′'3\pi/2' ধরা হয়েছে। | গ অংশে ′y=(8x);=−π≤x≤π′'y=(8x);=-\pi\le x\le\pi' টাইপোটিকে দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে ′y=f(8x);−π≤x≤π′'y = f(8x); -\pi \le x \le \pi' হিসেবে পুনর্গঠন করা হয়েছে।

    দেওয়া আছে,
    পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R=6440 kmR = 6440\text{ km}
    কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ=1∘5′=(1+560)∘=(1+112)∘=(1312)∘\theta = 1^\circ 5' = \left(1 + \frac{5}{60}\right)^\circ = \left(1 + \frac{1}{12}\right)^\circ = \left(\frac{13}{12}\right)^\circ
    রেডিয়ান এককে প্রকাশ করে পাই,
    θ=1312×π180 rad=13π2160 rad\theta = \frac{13}{12} \times \frac{\pi}{180}\text{ rad} = \frac{13\pi}{2160}\text{ rad}

    সুতরাং, A কলেজ ও B কলেজের মধ্যবর্তী দূরত্ব,
    s=Rθ=6440×13π2160 km=2093π54 km≈121.768 kms = R\theta = 6440 \times \frac{13\pi}{2160}\text{ km} = \frac{2093\pi}{54}\text{ km} \approx 121.768\text{ km}

    সাইকেল আরোহীর বেগ,
    v=250 m/min=250×601000 km/h=15 km/hv = 250\text{ m/min} = \frac{250 \times 60}{1000}\text{ km/h} = 15\text{ km/h}

    অতএব, প্রয়োজনীয় সময়,
    t=sv=121.76815 ঘণ্টা≈8.1179 ঘণ্টা≈8.12 ঘণ্টাt = \frac{s}{v} = \frac{121.768}{15}\text{ ঘণ্টা} \approx 8.1179\text{ ঘণ্টা} \approx 8.12\text{ ঘণ্টা}

    (বা সময় = 88 ঘণ্টা +(0.1179×60)+ (0.1179 \times 60) মিনিট ≈8\approx 8 ঘণ্টা 77 মিনিট 44 সেকেন্ড প্রায়)।

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে '3x/2' টাইপোটিকে মানক বোর্ড প্রশ্ন অনুসারে ′3π/2′'3\pi/2' ধরা হয়েছে। | গ অংশে ′y=(8x);=−π≤x≤π′'y=(8x);=-\pi\le x\le\pi' টাইপোটিকে দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে ′y=f(8x);−π≤x≤π′'y = f(8x); -\pi \le x \le \pi' হিসেবে পুনর্গঠন করা হয়েছে।

    দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, f(x)=sin⁡(x4)f(x) = \sin\left(\frac{x}{4}\right)
    ∴y=f(8x)=sin⁡(8x4)=sin⁡(2x)\therefore y = f(8x) = \sin\left(\frac{8x}{4}\right) = \sin(2x)
    এখানে ব্যবধি: −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi (বা −180∘≤x≤180∘-180^\circ \le x \le 180^\circ)
    sin⁡(2x)\sin(2x) এর পর্যায়কাল (Period) =2π2=π= \frac{2\pi}{2} = \pi।

    লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য −π-\pi থেকে π\pi ব্যবধিতে xx-এর সুবিধাজনক মানের জন্য y=sin⁡(2x)y = \sin(2x)-এর একটি মান সারণি তৈরি করি (প্রতি π8\frac{\pi}{8} বা 22.5∘22.5^\circ ব্যবধানে):

    xx−π-\pi−3π4-\frac{3\pi}{4}−π2-\frac{\pi}{2}−π4-\frac{\pi}{4}00π4\frac{\pi}{4}π2\frac{\pi}{2}3π4\frac{3\pi}{4}π\pi
    2x2x−2π-2\pi−3π2-\frac{3\pi}{2}−π-\pi−π2-\frac{\pi}{2}00π2\frac{\pi}{2}π\pi3π2\frac{3\pi}{2}2π2\pi
    y=sin⁡(2x)y = \sin(2x)001100−1-1001100−1-100

    অতিরিক্ত বিন্দুসমূহ:
    x=−7π8  ⟹  y≈−0.71x = -\frac{7\pi}{8} \implies y \approx -0.71; x=−5π8  ⟹  y≈0.71x = -\frac{5\pi}{8} \implies y \approx 0.71;
    x=−3π8  ⟹  y≈−0.71x = -\frac{3\pi}{8} \implies y \approx -0.71; x=−π8  ⟹  y≈−0.71x = -\frac{\pi}{8} \implies y \approx -0.71;
    x=π8  ⟹  y≈0.71x = \frac{\pi}{8} \implies y \approx 0.71; x=3π8  ⟹  y≈0.71x = \frac{3\pi}{8} \implies y \approx 0.71;
    x=5π8  ⟹  y≈−0.71x = \frac{5\pi}{8} \implies y \approx -0.71; x=7π8  ⟹  y≈−0.71x = \frac{7\pi}{8} \implies y \approx -0.71।

    লেখচিত্র অঙ্কনের পদ্ধতি:
    ১. ছক কাগজে XX-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি ৪ বা ৫ ঘরকে π4\frac{\pi}{4} এবং YY-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি ১০ ঘরকে ১ একক ধরে স্কেল নির্ধারণ করি।
    ২. সারণিতে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি।
    ৩. বিন্দুগুলোকে একটি মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করলে −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi ব্যবধিতে y=sin⁡(2x)y = \sin(2x)-এর সাইন তরঙ্গাকৃতি লেখচিত্র পাওয়া যায়, যার সর্বোচ্চ মান +1+1 এবং সর্বনিম্ন মান −1-1।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন