গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2 = 322 - 2 = 320$

   সুতরাং $x - \dfrac{1}{x} = \pm\sqrt{320} = \pm 8\sqrt{5}$

   ($x > 1$ হলে $x - \dfrac{1}{x} = \mathbf{8\sqrt{5}}$)

2. খ)

   ধরি $y = \sqrt{x}$ ($x > 1$ ধরে)। তাহলে $x\sqrt{x} - \dfrac{1}{x\sqrt{x}} = y^3 - \dfrac{1}{y^3}$।

   প্রথমে $x + \dfrac{1}{x}$ বের করি: $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = 322 + 2 = 324$, $x > 0$ বলে $x + \dfrac{1}{x} = 18$।

   এখন $\left(\sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x + \dfrac{1}{x} - 2 = 16$, তাই $\sqrt{x} - \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 4$।

   $y^3 - \dfrac{1}{y^3} = \left(y - \dfrac{1}{y}\right)^3 + 3\left(y - \dfrac{1}{y}\right) = 4^3 + 3 \cdot 4 = 64 + 12 = 76$

   সুতরাং $x\sqrt{x} - \dfrac{1}{x\sqrt{x}} = 76$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $a = 9 + 4\sqrt{5}$

   $9 + 4\sqrt{5} = 4 + 5 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = (2)^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = (2 + \sqrt{5})^2$

   তাহলে $\sqrt{a} = 2 + \sqrt{5}$
   এখন $\sqrt{a} - 2 = 2 + \sqrt{5} - 2 = \sqrt{5}$

   $5$ পূর্ণবর্গ নয়, তাই $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

   সুতরাং $(\sqrt{a} - 2)$ এর মান একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)