পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে নির্ণয় করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   î হলো X-অক্ষ বরাবর একটি একক ভেক্টর, যার মান |î| = 1।
   দুটি ভেক্টরের ডট গুণনের সংজ্ঞানুযায়ী,
   î · î = |î| |î| cos θ
   যেহেতু দুটি ভেক্টরই একই দিকে (X-অক্ষ বরাবর) ক্রিয়াশীল, তাদের মধ্যকার কোণ θ = 0°।
   সুতরাং,
   î · î = 1 × 1 × cos 0° = 1 × 1 × 1 = 1
   যেহেতু এর মান 1, তাই î · î ≠ 0।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
   $\vec{B} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$

   $\vec{A}$ বরাবর $\vec{B}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ হলো $B \cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$

   এখন,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)( -1) + (3)(2) + (5)(7) = -2 + 6 + 35 = 39$

   $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$

   অতএব, অভিক্ষেপ $= \frac{39}{\sqrt{38}} \approx 6.327$
   উত্তর: $\frac{39}{\sqrt{38}}$ বা প্রায় 6.33 একক।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি হলো:
   $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
   $\vec{B} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}$
   $\vec{C} = \hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$

   তিনটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থান করার শর্ত হলো তাদের স্কেলার ত্রৈধ গুণন শূন্য হবে, অর্থাৎ $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ হতে হবে।

   এখন এদের নির্ণায়কের মান নির্ণয় করি:
   $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ -1 & 2 & 7 \\ 1 & 7 & -1 \end{vmatrix}$
   $= 2[2(-1) - 7(7)] - 3[(-1)(-1) - 7(1)] + 5[(-1)(7) - 2(1)]$
   $= 2[-2 - 49] - 3[1 - 7] + 5[-7 - 2]$
   $= 2(-51) - 3(-6) + 5(-9)$
   $= -102 + 18 - 45$
   $= -129$

   যেহেতু $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -129 \neq 0$,
   সুতরাং উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করবে না।