গণিত • বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত (Algebraic Ratio and Proportion) • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

8x−1=a−1+b−1 এবং p2−2p m+1=0 8 \mathrm{x}^{-1}=\mathrm{a}^{-1}+\mathrm{b}^{-1} \text { এবং } \mathrm{p}^{2}-\frac{2 \mathrm{p}}{\mathrm{~m}}+1=0

  1. ক)

    x x এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, x+4ax−4a+x+4bx−4b=2;a≠b\frac{x+4 a}{x-4 a}+\frac{x+4 b}{x-4 b}=2 ; a \neq b

    (2)
  3. গ)

    দেখাও যে, 1+m+1−m1+m−1−m=p\frac{\sqrt{1+m}+\sqrt{1-m}}{\sqrt{1+m}-\sqrt{1-m}}=p

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    ৮x−১=a−১+b−১৮x^{-১} = a^{-১} + b^{-১}

    ⇒৮x=১a+১b=a+bab\Rightarrow \dfrac{৮}{x} = \dfrac{১}{a} + \dfrac{১}{b} = \dfrac{a+b}{ab}

    ⇒x=৮aba+b\Rightarrow x = \dfrac{৮ab}{a+b}

  2. খ)

    ক-অংশ থেকে x=৮aba+bx = \dfrac{৮ab}{a+b}, তাই x৪a=২ba+b\dfrac{x}{৪a} = \dfrac{২b}{a+b}

    যোগ-বিয়োগ করে, x+৪ax−৪a=২b+(a+b)২b−(a+b)=a+৩bb−a\dfrac{x+৪a}{x-৪a} = \dfrac{২b+(a+b)}{২b-(a+b)} = \dfrac{a+৩b}{b-a}

    আবার x৪b=২aa+b\dfrac{x}{৪b} = \dfrac{২a}{a+b}, তাই x+৪bx−৪b=২a+(a+b)২a−(a+b)=৩a+ba−b=−৩a+bb−a\dfrac{x+৪b}{x-৪b} = \dfrac{২a+(a+b)}{২a-(a+b)} = \dfrac{৩a+b}{a-b} = -\dfrac{৩a+b}{b-a}

    বামপক্ষ =a+৩b−৩a−bb−a=২b−২ab−a=২= \dfrac{a+৩b-৩a-b}{b-a} = \dfrac{২b-২a}{b-a} = ২ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    দেওয়া আছে, p২−২pm+১=০p^২ - \dfrac{২p}{m} + ১ = ০

    ⇒p২+১=২pm\Rightarrow p^২ + ১ = \dfrac{২p}{m}

    ⇒p২+১২p=১m\Rightarrow \dfrac{p^২+১}{২p} = \dfrac{১}{m}

    উভয় পক্ষে p২+১=(p+১)২+(p−১)২২p^২ + ১ = \dfrac{(p+১)^২ + (p-১)^২}{২} এবং ২p=(p+১)২−(p−১)২২২p = \dfrac{(p+১)^২ - (p-১)^২}{২} বসিয়ে পাই,

    (p+১)২+(p−১)২(p+১)২−(p−১)২=১m\dfrac{(p+১)^২ + (p-১)^২}{(p+১)^২ - (p-১)^২} = \dfrac{১}{m}

    যোগ-বিয়োগ করে, (p+১)২(p−১)২=১+m১−m\dfrac{(p+১)^২}{(p-১)^২} = \dfrac{১+m}{১-m}

    বর্গমূল নিয়ে, p+১p−১=১+m১−m\dfrac{p+১}{p-১} = \dfrac{\sqrt{১+m}}{\sqrt{১-m}}

    আবার যোগ-বিয়োগ করে, (p+১)+(p−১)(p+১)−(p−১)=১+m+১−m১+m−১−m\dfrac{(p+১)+(p-১)}{(p+১)-(p-১)} = \dfrac{\sqrt{১+m}+\sqrt{১-m}}{\sqrt{১+m}-\sqrt{১-m}}

    ⇒২p২=১+m+১−m১+m−১−m\Rightarrow \dfrac{২p}{২} = \dfrac{\sqrt{১+m}+\sqrt{১-m}}{\sqrt{১+m}-\sqrt{১-m}}

    সুতরাং, ১+m+১−m১+m−১−m=p\dfrac{\sqrt{১+m}+\sqrt{১-m}}{\sqrt{১+m}-\sqrt{১-m}} = p। (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন