পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে বিচ্ছিন্ন সম্ভাবনা বিন্যাসে প্রতিটি স্বাধীন বার্নোলি চেষ্টার ফলাফল সাফল্য বা বিফলতা হিসেবে নির্ধারিত হয় এবং নির্দিষ্ট সংখ্যক চেষ্টার মধ্যে সাফল্যের সংখ্যা সম্পর্কিত সম্ভাবনা প্রকাশ পায়, তাকে দ্বিপদী বিন্যাস বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসের গড় হলো $\mu = np$ এবং ভেদাঙ্ক হলো $\sigma^2 = npq$, যেখানে $n$ হলো চেষ্টার সংখ্যা, $p$ হলো সাফল্যের সম্ভাবনা এবং $q = 1 - p$ হলো বিফলতার সম্ভাবনা।
   যেহেতু $0 < p < 1$, সেহেতু বিফলতার সম্ভাবনা $q$-এর মানও শূন্য থেকে এক এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, অর্থাৎ $0 < q < 1$।
   এখন, ভেদাঙ্ক $\sigma^2 = npq = (np) \times q = \text{গড়} \times q$
   যেহেতু $q < 1$, কোনো ধনাত্মক সংখ্যাকে ১ অপেক্ষা ছোট ধনাত্মক ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করলে গুণফল মূল সংখ্যাটির চেয়ে ছোট হয়।
   অতএব, $npq < np$, অর্থাৎ দ্বিপদী বিন্যাসের ভেদাঙ্ক সর্বদা গড় অপেক্ষা ছোট বা গড় ভেদাঙ্ক অপেক্ষা বড়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি দুটি: চেষ্টার সংখ্যা $n$ এবং সাফল্যের সম্ভাবনা $p$।
   উদ্দীপক অনুসারে,
   গড়, $np = 20$ ..... (১)
   ভেদাঙ্ক, $npq = 4$ ..... (২)

   সমীকরণ (২)-কে সমীকরণ (১) দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{npq}{np} = \frac{4}{20}$
   বা, $q = \frac{1}{5} = 0.2$

   আমরা জানি, $p + q = 1$
   বা, $p = 1 - q = 1 - 0.2 = 0.8$

   এখন সমীকরণ (১)-এ $p$-এর মান বসিয়ে পাই,
   $n \times 0.8 = 20$
   বা, $n = \frac{20}{0.8} = 25$

   অতএব, দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি দুটি হলো $n = 25$ এবং $p = 0.8$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'গ' হতে প্রাপ্ত পরামিতির মানসমূহ:
   $n = 25$, $p = 0.8$, $q = 0.2$ এবং ভেদাঙ্ক $npq = 4$

   বঙ্কিমতাঙ্ক নির্ণয়:
   দ্বিপদী বিন্যাসের প্রথম বঙ্কিমতা গুণাঙ্ক,
   $\sqrt{\beta_1} = \frac{q - p}{\sqrt{npq}} = \frac{0.2 - 0.8}{\sqrt{4}} = \frac{-0.6}{2} = -0.3$
   যেহেতু $\sqrt{\beta_1} < 0$, তাই বিন্যাসটি ঋণাত্মক বঙ্কিম (Negatively Skewed)।

   সূঁচালতাঙ্ক নির্ণয়:
   দ্বিপদী বিন্যাসের পরিমিত সূঁচালতা গুণাঙ্ক,
   $\gamma_2 = \beta_2 - 3 = \frac{1 - 6pq}{npq}$
   বা, $\gamma_2 = \frac{1 - 6(0.8)(0.2)}{4} = \frac{1 - 0.96}{4} = \frac{0.04}{4} = 0.01$
   যেহেতু $\gamma_2 > 0$ (বা $\beta_2 = 3 + 0.01 = 3.01 > 3$), তাই বিন্যাসটি অতি-সূঁচাল (Leptokurtic)।

   নীলার মন্তব্যের মূল্যায়ন:
   নীলা মন্তব্য করেছিল বিন্যাসটি "ধনাত্মক বঙ্কিম কিন্তু অনতি সূঁচাল"।
   কিন্তু গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, বিন্যাসটি মূলত "ঋণাত্মক বঙ্কিম" এবং "অতি-সূঁচাল"।
   অতএব, নীলার মন্তব্যটি সঠিক নয়।