উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   n = 4 এর জন্য প্যাসকেলের ত্রিভুজটি নিম্নরূপ:

   n = 0: 1
   n = 1: 1 1
   n = 2: 1 2 1
   n = 3: 1 3 3 1
   n = 4: 1 4 6 4 1

   অতএব, n = 4 এর সারিটি হলো: 1, 4, 6, 4, 1।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \left(2 - \frac{3}{x}\right)^{15}$

   আমরা জানি, $(a + b)^n$ এর বিস্তৃতিতে $(r + 1)$-তম পদটি হলো:
   $T_{r+1} = {}^nC_r \cdot a^{n-r} \cdot b^r$

   এখানে, $a = 2$, $b = -\frac{3}{x}$ এবং $n = 15$।
   সুতরাং,
   $T_{r+1} = {}^{15}C_r \cdot 2^{15-r} \cdot \left(-\frac{3}{x}\right)^r$
   $= {}^{15}C_r \cdot 2^{15-r} \cdot (-3)^r \cdot x^{-r}$

   উক্ত পদটি $x$-বর্জিত বা $x$-মুক্ত হবে যদি $x$ এর ঘাত $0$ হয়।
   অতএব, $-r = 0 \Rightarrow r = 0$

   সুতরাং, পদ সংখ্যা $= r + 1 = 0 + 1 = 1$-তম পদ।
   অর্থাৎ, ১ম পদটি $x$-বর্জিত।

   পদটির মান $= {}^{15}C_0 \cdot 2^{15-0} \cdot (-3)^0 = 1 \cdot 2^{15} \cdot 1 = 2^{15} = 32768$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \left(2 - \frac{3}{x}\right)^{15}$।
   এখানে ঘাত $n = 15$, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।
   অতএব, বিস্তৃতিতে মোট পদসংখ্যা $= n + 1 = 15 + 1 = 16$ (জোড়)।
   কাজেই, বিস্তৃতিতে মধ্যপদ থাকবে দুইটি।
   মধ্যপদ দুটি হলো:
   $\frac{15 + 1}{2} = 8$-তম পদ এবং $\frac{15 + 3}{2} = 9$-তম পদ।

   এখন, $r + 1 = 8$ হলে, $r = 7$:
   $T_8 = {}^{15}C_7 \cdot 2^{15-7} \cdot \left(-\frac{3}{x}\right)^7$
   $x = 1$ হলে,
   $T_8 = {}^{15}C_7 \cdot 2^8 \cdot (-3)^7$
   $= 6435 \cdot 256 \cdot (-2187)$
   $= -3,602,776,320$

   আবার, $r + 1 = 9$ হলে, $r = 8$:
   $T_9 = {}^{15}C_8 \cdot 2^{15-8} \cdot \left(-\frac{3}{x}\right)^8$
   $x = 1$ হলে,
   $T_9 = {}^{15}C_8 \cdot 2^7 \cdot (-3)^8$
   যেহেতু ${}^{15}C_8 = {}^{15}C_7 = 6435$,
   $T_9 = 6435 \cdot 128 \cdot 6561$
   $= 5,404,164,480$

   সুতরাং, মধ্যপদ দুইটির পার্থক্য:
   $|T_9 - T_8| = 5404164480 - (-3602776320)$
   $= 5404164480 + 3602776320$
   $= 9,006,940,800$
   (অথবা $T_8 - T_9 = -9,006,940,800$)।