উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   x + 3y = -2
   2x + y = -3

   নির্ণায়ক $D = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (3)(2) = 1 - 6 = -5$

   $D_x = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(1) - (3)(-3) = -2 + 9 = 7$

   $D_y = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (1)(-3) - (-2)(2) = -3 + 4 = 1$

   ক্র্যামারের নিয়মানুসারে,
   $x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{-5} = -\frac{7}{5}$
   $y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$

   নির্ণেয় সমাধান: $(x, y) = \left(-\frac{7}{5}, -\frac{1}{5}\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x^2 + 3x - 5I$।
   সুতরাং $f(A) = A^2 + 3A - 5I$।

   এখানে,
   $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

   $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 4+0+2 & 0+0+1 & 2+0+3 \\ 6+12+4 & 0+16+2 & 3+8+6 \\ 4+3+6 & 0+4+3 & 2+2+9 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 6 & 1 & 5 \\ 22 & 18 & 17 \\ 13 & 7 & 13 \end{bmatrix}$

   $3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 3 \\ 9 & 12 & 6 \\ 6 & 3 & 9 \end{bmatrix}$

   $5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

   অতএব,
   $f(A) = A^2 + 3A - 5I$
   $= \begin{bmatrix} 6+6-5 & 1+0-0 & 5+3-0 \\ 22+9-0 & 18+12-5 & 17+6-0 \\ 13+6-0 & 7+3-0 & 13+9-5 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 7 & 1 & 8 \\ 31 & 25 & 23 \\ 19 & 10 & 17 \end{bmatrix}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বাস্তব চলক $x$ এর জন্য $f(x) = x^2 + 3x - 5$ (যেহেতু ম্যাট্রিক্স নয় এমন ক্ষেত্রে স্কেলার ধ্রুবক 5) এবং $g(x) = 2x - 3$।

   সংযোজিত ফাংশন:
   $gof(x) = g(f(x)) = 2(f(x)) - 3$
   $= 2(x^2 + 3x - 5) - 3$
   $= 2x^2 + 6x - 10 - 3$
   $= 2x^2 + 6x - 13$।

   ধরি, $y = 2x^2 + 6x - 13$
   $\Rightarrow y = 2\left(x^2 + 3x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{2} - 13$
   $\Rightarrow y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{35}{2}$
   $\Rightarrow y + \frac{35}{2} = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2$।

   এটি একটি পরাবৃত্ত (parabola), যার অক্ষ $y$-অক্ষের সমান্তরাল এবং এটি ঊর্ধ্বমুখী উন্মুক্ত।
   পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু: $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{35}{2}\right)$ বা $(-1.5, -17.5)$।

   লেখচিত্রের জন্য কয়েকটি বিন্দু:
   $x = 0$ হলে, $y = -13$
   $x = 1$ হলে, $y = -5$
   $x = 2$ হলে, $y = 7$
   $x = -1$ হলে, $y = -17$
   $x = -2$ হলে, $y = -17$
   $x = -3$ হলে, $y = -13$
   $x = -4$ হলে, $y = -5$
   $x = -5$ হলে, $y = 7$

   অঙ্কন পদ্ধতি:
   ছক কাগজে সুবিধাজনক স্কেল নিয়ে $x$-অক্ষ ও $y$-অক্ষ চিহ্নিত করে শীর্ষবিন্দু $(-1.5, -17.5)$ এবং প্রাপ্ত বিন্দুগুলো স্থাপন করে মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করলে $gof(x) = 2x^2 + 6x - 13$ এর পরাবৃত্তাকার লেখচিত্র পাওয়া যাবে।