পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $X$-এর মান যদি 0, 1, 2, ... ইত্যাদি হয় এবং এর সম্ভাবনা অপেক্ষক $P(X = x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$ (যেখানে $m > 0$ একটি পরামিতি) হয়, তবে তাকে পৈঁসু বিন্যাস বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পৈঁসু বিন্যাস সর্বদা ধনাত্মক বঙ্কিম। কারণ পৈঁসু বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক $\sqrt{\beta_1} = \gamma_1 = 1 / \sqrt{m}$। যেহেতু পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি m একটি ধনাত্মক সংখ্যা (m > 0), তাই $\gamma_1-$ এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়। সুতরাং, পৈঁসু বিন্যাস সবসময় ধনাত্মক বঙ্কিম বিন্যাস।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ হতে পাই,
   P(X = 2) = P(X = 3)
   আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = (e^{(-m)} * m^x) / x!; x = 0, 1, 2$, ...
   অতএব,
   $(e^{(-m)} * m^2) / 2! = (e^{(-m)} * m^3) / 3$!
   বা, $m^2 / 2 = m^3 / 6$
   বা, m / 3 = 1
   বা, m = 3
   সুতরাং, বিন্যাসটির পরামিতির মান m = 3।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ হতে,
   $P(X = 3) = P(X = 4)$
   বা, $\frac{e^{-m} m^3}{3!} = \frac{e^{-m} m^4}{4!}$
   বা, $\frac{m^3}{6} = \frac{m^4}{24}$
   বা, $\frac{m}{4} = 1$
   বা, $m = 4$
   অতএব, উদ্দীপক-২ অনুসারে পৈঁসু বিন্যাসের পরামিতি $m = 4$।

   আমরা জানি, পৈঁসু বিন্যাসের সূঁচালতাঙ্ক,
   $\beta_2 = 3 + \frac{1}{m}$
   $= 3 + \frac{1}{4}$
   $= 3 + 0.25 = 3.25$

   অথবা অতিরিক্ত সূঁচালতাঙ্ক,
   $\gamma_2 = \beta_2 - 3 = 0.25 > 0$

   মন্তব্য: যেহেতু $\beta_2 > 3$ (অথবা $\gamma_2 > 0$), তাই বিন্যাসটি মধ্যম সূঁচালো বা পরিমিত বিন্যাস অপেক্ষা অধিক সূঁচালো। অর্থাৎ বিন্যাসটির আকৃতি অতি-সূঁচালো (Leptokurtic)।