উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে পরাবৃত্তের সমীকরণ,
   $x = 5y^2 - 4y + 7$
   $\implies 5y^2 - 4y = x - 7$
   $\implies 5\left(y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{2}{5} + \frac{4}{25}\right) = x - 7 + \frac{4}{5}$
   $\implies 5\left(y - \frac{2}{5}\right)^2 = x - \frac{31}{5}$
   $\implies \left(y - \frac{2}{5}\right)^2 = \frac{1}{5}\left(x - \frac{31}{5}\right)$

   উক্ত সমীকরণটিকে $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ আকারের সাথে তুলনা করে পাই,
   অক্ষের সমীকরণ:
   $y - k = 0$
   $\implies y - \frac{2}{5} = 0$
   $\implies 5y - 2 = 0$

   নির্ণেয় অক্ষের সমীকরণ: $5y - 2 = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কণিকের সমীকরণ:
   $x^2 + 5y^2 = 5$
   $\implies \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{1} = 1$

   এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, যা $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ আকারের।
   এখানে, $a^2 = 5 \implies a = \sqrt{5}$ এবং $b^2 = 1 \implies b = 1$।
   যেহেতু $a > b$, তাই উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

   দিকাক্ষদ্বয়ের সমীকরণ:
   $x = \pm \frac{a}{e}$
   $\implies x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$
   $\implies x = \pm \frac{5}{2}$
   $\implies 2x \pm 5 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় দিকাক্ষের সমীকরণ $2x \pm 5 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র এবং দৃশ্যকল্প-২ হতে,
   কণিকের কেন্দ্র মূলবিন্দু $O(0, 0)$।
   $x$-অক্ষ বরাবর উপকেন্দ্র $S$ এর স্থানাঙ্ক $(OS, 0) = (4, 0)$।
   দিকাক্ষ $MM'$ রেখাটি $Y$-অক্ষের সমান্তরাল এবং $Z(1, 0)$ বিন্দুগামী।
   সুতরাং, দিকাক্ষের সমীকরণ: $x = 1$ বা $x - 1 = 0$।
   এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{2}$।

   কণিকের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে, কণিকের সংজ্ঞানুসারে:
   $SP = e \cdot PM$
   $\implies SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
   $\implies (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{2})^2 \left(\frac{|x - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}\right)^2$
   $\implies x^2 - 8x + 16 + y^2 = 2(x - 1)^2$
   $\implies x^2 - 8x + 16 + y^2 = 2(x^2 - 2x + 1)$
   $\implies x^2 - 8x + 16 + y^2 = 2x^2 - 4x + 2$
   $\implies 2x^2 - x^2 - y^2 - 4x + 8x + 2 - 16 = 0$
   $\implies x^2 - y^2 + 4x - 14 = 0$

   নির্ণেয় কণিকটির সমীকরণ: $x^2 - y^2 + 4x - 14 = 0$।