উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $AB$ রডের দৈর্ঘ্য $d = 5\text{ m}$।
   $A$ বিন্দুতে বৃহত্তর বল $P = 15\text{ N}$ এবং $B$ বিন্দুতে অপর বল $Q = 10\text{ N}$ ক্রিয়াশীল।
   লব্ধি $R = P + Q = 15 + 10 = 25\text{ N}$ রডের উপর $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত, যেখানে $A$ থেকে $C$ এর দূরত্ব $x$।
   সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয়ের শর্তানুসারে,
   $P \cdot AC = Q \cdot BC$
   $\Rightarrow 15 \cdot x = 10 \cdot (5 - x)$
   $\Rightarrow 15x = 50 - 10x$
   $\Rightarrow 25x = 50$
   $\Rightarrow x = 2\text{ m}$
   অতএব, বৃহত্তর বল হতে লব্ধি $2\text{ m}$ দূরে ক্রিয়া করবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, কোনো বিন্দু $O$-তে ক্রিয়াশীল তিনটি একতলীয় বল যথাক্রমে $\vec{P_1}, \vec{P_2}, \vec{P_3}$।
   তাদের মধ্যবর্তী কোণ:
   $\vec{P_2}$ ও $\vec{P_3}$ এর অন্তর্গত কোণ $\alpha$,
   $\vec{P_3}$ ও $\vec{P_1}$ এর অন্তর্গত কোণ $\beta$,
   $\vec{P_1}$ ও $\vec{P_2}$ এর অন্তর্গত কোণ $\gamma$।

   বলগুলোর লব্ধি $\vec{R}$ হলে,
   $\vec{R} = \vec{P_1} + \vec{P_2} + \vec{P_3}$
   লব্ধির মান $R$ এর বর্গ:
   $R^2 = |\vec{R}|^2 = (\vec{P_1} + \vec{P_2} + \vec{P_3}) \cdot (\vec{P_1} + \vec{P_2} + \vec{P_3})$
   $\Rightarrow R^2 = |\vec{P_1}|^2 + |\vec{P_2}|^2 + |\vec{P_3}|^2 + 2(\vec{P_2} \cdot \vec{P_3} + \vec{P_3} \cdot \vec{P_1} + \vec{P_1} \cdot \vec{P_2})$
   $\Rightarrow R^2 = P_1^2 + P_2^2 + P_3^2 + 2 P_2 P_3 \cos \alpha + 2 P_3 P_1 \cos \beta + 2 P_1 P_2 \cos \gamma$

   অতএব, লব্ধি,
   $R = \left[P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+P_{3}^{2}+2 P_{2} P_{3} \cos \alpha+2 P_{3} P_{1} \cos \beta+2 P_{1} P_{2} \cos \gamma\right]^{\frac{1}{2}}$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, কোনো কণার উপর ক্রিয়ারত তিনটি একতলীয় বল $P_1, P_2, P_3$ সাম্যাবস্থা সৃষ্টি করেছে।
   এখানে,
   $P_2$ ও $P_3$ এর মধ্যবর্তী কোণ = $\alpha$,
   $P_3$ ও $P_1$ এর মধ্যবর্তী কোণ = $\beta$,
   $P_1$ ও $P_2$ এর মধ্যবর্তী কোণ = $\gamma$।

   লামির উপপাদ্য অনুসারে,
   কোনো বিন্দুতে কার্যরত তিনটি সমতলীয় বল সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রতিটি বলের মান অপর বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের (sine) সমানুপাতিক হয়।

   অতএব,
   $\frac{P_1}{\sin(\text{angle between } P_2 \text{ and } P_3)} = \frac{P_2}{\sin(\text{angle between } P_3 \text{ and } P_1)} = \frac{P_3}{\sin(\text{angle between } P_1 \text{ and } P_2)}$
   $\Rightarrow \frac{P_{1}}{\sin \alpha} = \frac{P_{2}}{\sin \beta} = \frac{P_{3}}{\sin \gamma}$ (প্রমাণিত)।