উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • অন্তরীকরণ • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x এবং g(x)=exg(x)=e^{x}

  1. ক)

    lim⁡x→0e2x−1ax\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{a x} এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    f(2x)x\frac{\mathrm{f}(2 \mathrm{x})}{\mathrm{x}} এর গুরুমান এবং লঘুমান বিদ্যমান থাকলে তা নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    f1e2f_1^{e^2} f(x)xdx+\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{x}} \mathrm{dx}+ f1e2f_1^{e2} g(x)dx g(x) d x এর মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের বিকৃত টেক্সট 'f1e2f_1^{e^2} f(x)xdx+ ...' কে সমাকলন চিহ্নের মুদ্রণ ত্রুটি হিসেবে শনাক্ত করে ∫1e2f(x)xdx+∫1e2g(x)dx\int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} dx + \int_1^{e^2} g(x) dx (অথবা দ্বিতীয় সমাকলনের সীমা 11 থেকে 22) ধরে সমাধান করা হয়েছে।

    প্রদত্ত সীমা:
    lim⁡x→0e2x−1ax=2alim⁡x→0e2x−12x\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{ax} = \frac{2}{a} \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{2x}
    যেহেতু lim⁡z→0ez−1z=1\lim_{z \to 0} \frac{e^z-1}{z} = 1,
    =2a⋅1=2a= \frac{2}{a} \cdot 1 = \frac{2}{a}

    উত্তর: 2a\frac{2}{a}

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের বিকৃত টেক্সট 'f1e2f_1^{e^2} f(x)xdx+ ...' কে সমাকলন চিহ্নের মুদ্রণ ত্রুটি হিসেবে শনাক্ত করে ∫1e2f(x)xdx+∫1e2g(x)dx\int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} dx + \int_1^{e^2} g(x) dx (অথবা দ্বিতীয় সমাকলনের সীমা 11 থেকে 22) ধরে সমাধান করা হয়েছে।

    দেওয়া আছে, f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x
    ধরি, y=f(2x)x=ln⁡(2x)xy = \frac{f(2x)}{x} = \frac{\ln(2x)}{x}

    অন্তরীকরণ করে পাই,
    dydx=x⋅12x⋅2−ln⁡(2x)x2=1−ln⁡(2x)x2\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 - \ln(2x)}{x^2} = \frac{1 - \ln(2x)}{x^2}

    চরম মানের জন্য dydx=0\frac{dy}{dx} = 0:
    1−ln⁡(2x)x2=0  ⟹  1−ln⁡(2x)=0  ⟹  ln⁡(2x)=1  ⟹  2x=e  ⟹  x=e2\frac{1 - \ln(2x)}{x^2} = 0 \implies 1 - \ln(2x) = 0 \implies \ln(2x) = 1 \implies 2x = e \implies x = \frac{e}{2}

    আবার,
    d2ydx2=x2(−1x)−(1−ln⁡2x)(2x)x4=−3+2ln⁡(2x)x3\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2 \left(-\frac{1}{x}\right) - (1 - \ln 2x)(2x)}{x^4} = \frac{-3 + 2\ln(2x)}{x^3}

    x=e2x = \frac{e}{2} বিন্দুতে,
    d2ydx2=−3+2ln⁡e(e/2)3=−8e3<0\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-3 + 2\ln e}{(e/2)^3} = -\frac{8}{e^3} < 0

    অতএব, x=e2x = \frac{e}{2} বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান এবং কোনো লঘুমান নেই।
    গুরুমান=ln⁡(2⋅e2)e2=1e2=2e\text{গুরুমান} = \frac{\ln\left(2 \cdot \frac{e}{2}\right)}{\frac{e}{2}} = \frac{1}{\frac{e}{2}} = \frac{2}{e}

    উত্তর: কেবল গুরুমান বিদ্যমান এবং তা হলো 2e\frac{2}{e}; কোনো লঘুমান নেই।

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের বিকৃত টেক্সট 'f1e2f_1^{e^2} f(x)xdx+ ...' কে সমাকলন চিহ্নের মুদ্রণ ত্রুটি হিসেবে শনাক্ত করে ∫1e2f(x)xdx+∫1e2g(x)dx\int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} dx + \int_1^{e^2} g(x) dx (অথবা দ্বিতীয় সমাকলনের সীমা 11 থেকে 22) ধরে সমাধান করা হয়েছে।

    বিকৃত প্রতীকমালা থেকে পুনর্গঠিত সমাকলন:
    I=∫1e2f(x)x dx+∫1e2g(x) dx=∫1e2ln⁡xx dx+∫1e2ex dxI = \int_1^{e^2} \frac{f(x)}{x} \, dx + \int_1^{e^2} g(x) \, dx = \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x} \, dx + \int_1^{e^2} e^x \, dx

    ১ম সমাকলন:
    ∫1e2ln⁡xx dx=[(ln⁡x)22]1e2=(ln⁡e2)22−(ln⁡1)22=222−0=2\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x} \, dx = \left[ \frac{(\ln x)^2}{2} \right]_1^{e^2} = \frac{(\ln e^2)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{2^2}{2} - 0 = 2

    ২য় সমাকলন:
    ∫1e2ex dx=[ex]1e2=ee2−e\int_1^{e^2} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_1^{e^2} = e^{e^2} - e
    [নোট: দ্বিতীয় সমাকলনের ঊর্ধ্বসীমা মুদ্রণে e2e^2-এর বদলে 22 হলে তার মান হবে e2−ee^2 - e]

    অতএব, নির্ণেয় মান:
    I=2+ee2−e(অথবা 2+e2−e)I = 2 + e^{e^2} - e \quad (\text{অথবা } 2 + e^2 - e)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন