উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-3x}}{x}$

   লব ও হরকে $(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x})$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-3x})(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x})}{x(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x})}$
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+2x) - (1-3x)}{x(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x})}$
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{5x}{x(\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x})}$
   $= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{5}{\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-3x}}$
   সীমা বসিয়ে পাই,
   $= \frac{5}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}} = \frac{5}{1+1} = \frac{5}{2}$

   উত্তর: $\frac{5}{2}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে, $g(x) = 0$ বক্ররেখাটির সমীকরণ (যেখানে $g(x,y)$ দেওয়া আছে):
   $x^3 - 3xy + y^3 - 15 = 0$

   $x$-এর সাপেক্ষে উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{d}{dx}(x^3) - 3\frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^3) - \frac{d}{dx}(15) = 0$
   $\implies 3x^2 - 3\left(y + x\frac{dy}{dx}\right) + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$
   $\implies 3x^2 - 3y - 3x\frac{dy}{dx} + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$
   $\implies (3y^2 - 3x)\frac{dy}{dx} = 3y - 3x^2$
   $\implies \frac{dy}{dx} = \frac{3(y - x^2)}{3(y^2 - x)} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

   $(2, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, $m$:
   $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2,1)} = \frac{1 - 2^2}{1^2 - 2} = \frac{1 - 4}{1 - 2} = \frac{-3}{-1} = 3$

   অতএব, $(2, 1)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y - 1 = m(x - 2)$
   $\implies y - 1 = 3(x - 2)$
   $\implies y - 1 = 3x - 6$
   $\implies 3x - y - 5 = 0$

   উত্তর: $3x - y - 5 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{11}{2}x^2 - 6x + 5$

   $x$-এর সাপেক্ষে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ করে পাই,
   $f'(x) = \frac{2}{3}(3x^2) + \frac{11}{2}(2x) - 6 = 2x^2 + 11x - 6$
   $f''(x) = 4x + 11$

   ফাংশনের বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম মানের জন্য,
   $f'(x) = 0$
   $\implies 2x^2 + 11x - 6 = 0$
   $\implies 2x^2 + 12x - x - 6 = 0$
   $\implies 2x(x + 6) - 1(x + 6) = 0$
   $\implies (x + 6)(2x - 1) = 0$
   $\therefore x = -6$ অথবা $x = \frac{1}{2}$

   ১) $x = -6$ হলে:
   $f''(-6) = 4(-6) + 11 = -24 + 11 = -13 < 0$
   সুতরাং, $x = -6$ বিন্দুতে ফাংশনটির বৃহত্তম মান বিদ্যমান।
   বৃহত্তম মান $= f(-6) = \frac{2}{3}(-6)^3 + \frac{11}{2}(-6)^2 - 6(-6) + 5$
   $= \frac{2}{3}(-216) + \frac{11}{2}(36) + 36 + 5$
   $= -144 + 198 + 36 + 5 = 95$

   ২) $x = \frac{1}{2}$ হলে:
   $f''\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right) + 11 = 2 + 11 = 13 > 0$
   সুতরাং, $x = \frac{1}{2}$ বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম মান বিদ্যমান।
   ক্ষুদ্রতম মান $= f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{8}\right) + \frac{11}{2}\left(\frac{1}{4}\right) - 6\left(\frac{1}{2}\right) + 5$
   $= \frac{1}{12} + \frac{11}{8} - 3 + 5 = \frac{1}{12} + \frac{11}{8} + 2$
   $= \frac{2 + 33 + 48}{24} = \frac{83}{24}$

   উত্তর: বৃহত্তম মান $95$ এবং ক্ষুদ্রতম মান $\frac{83}{24}$