গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $A=60^\circ$ হলে, $3\sin A-4\sin^3A=3\sin60^\circ-4\sin^360^\circ$

   $=3\times\dfrac{\sqrt3}2-4\times\left(\dfrac{\sqrt3}2\right)^3=\dfrac{3\sqrt3}2-4\times\dfrac{3\sqrt3}8=\dfrac{3\sqrt3}2-\dfrac{3\sqrt3}2=0$

   (এটি $\sin3A=\sin180^\circ=0$)

   উত্তর: $0$

2. খ)

   ধরি, গাছ $AB$, $C$ বিন্দুতে ভেঙে ভাঙা অংশ $CD$ ভূমি ($D$) স্পর্শ করেছে। $BD=10\sqrt3$ মিটার, $\angle CDB=30^\circ$ এবং $\angle CBD=90^\circ$।

   $\cos30^\circ=\dfrac{BD}{CD}$, বা $\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac{10\sqrt3}{CD}$, অতএব $CD=20$ মিটার।

   $\tan30^\circ=\dfrac{BC}{BD}$, বা $\dfrac1{\sqrt3}=\dfrac{BC}{10\sqrt3}$, অতএব $BC=10$ মিটার।

   $\therefore$ সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য $=BC+CD=10+20=30$ মিটার।

   উত্তর: $30$ মিটার

3. গ)

   ধরি, উড়োজাহাজ $A$ বিন্দুতে, ভূমি থেকে উচ্চতা $AH=h$ মিটার ($H$ হলো $PQ$-এর ওপর পাদবিন্দু)।

   $P$ থেকে অবনতি কোণ $60^\circ$, তাই $\angle APH=60^\circ$ এবং $PH=\dfrac h{\tan60^\circ}=\dfrac h{\sqrt3}$।

   $Q$ থেকে অবনতি কোণ $45^\circ$, তাই $\angle AQH=45^\circ$ এবং $QH=\dfrac h{\tan45^\circ}=h$।

   $PH+HQ=PQ$ থেকে, $\dfrac h{\sqrt3}+h=1200$

   বা, $h\cdot\dfrac{1+\sqrt3}{\sqrt3}=1200$

   বা, $h=\dfrac{1200\sqrt3}{\sqrt3+1}=\dfrac{1200\sqrt3(\sqrt3-1)}2=600(3-\sqrt3)=1800-600\sqrt3$

   উত্তর: উড়োজাহাজের উচ্চতা $600(3-\sqrt3)$ মিটার, প্রায় $760.77$ মিটার