উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বৃত্তটির কেন্দ্র $(4, 3)$।
   যেহেতু বৃত্তটি $5x - 12y + 3 = 0$ সরলরেখাকে স্পর্শ করে, সেহেতু কেন্দ্র থেকে উক্ত রেখার লম্ব দূরত্বই হবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r)।
   $\therefore r = \frac{|5(4) - 12(3) + 3|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}$
   $= \frac{|20 - 36 + 3|}{\sqrt{25 + 144}}$
   $= \frac{|-13|}{\sqrt{169}} = \frac{13}{13} = 1$

   সুতরাং, $(4, 3)$ কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং 1 ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 1^2$
   $\Rightarrow x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 1$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ... (i)

   যেহেতু বৃত্তটি $x$-অক্ষকে স্পর্শ করে, সুতরাং $c = g^2$ ... (ii)

   বৃত্তটি $B(-2, 0)$ বিন্দুগামী:
   $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + c = 0$
   $\Rightarrow 4 - 4g + c = 0$
   $\Rightarrow 4 - 4g + g^2 = 0$ [ (ii) হতে ]
   $\Rightarrow (g - 2)^2 = 0$
   $\therefore g = 2$
   অতএব, $c = g^2 = 2^2 = 4$।

   আবার, বৃত্তটি $A(0, -2)$ বিন্দুগামী:
   $0^2 + (-2)^2 + 2g(0) + 2f(-2) + c = 0$
   $\Rightarrow 4 - 4f + 4 = 0$
   $\Rightarrow 4f = 8$
   $\therefore f = 2$

   $g$, $f$ এবং $c$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $x^2 + y^2 + 2(2)x + 2(2)y + 4 = 0$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$
   এখানে, $2g = -2 \Rightarrow g = -1$
   $2f = -4 \Rightarrow f = -2$
   $c = 1$
   $\therefore$ কেন্দ্র = $(-g, -f) = (1, 2)$
   এবং ব্যাসার্ধ, $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - 1} = \sqrt{1 + 4 - 1} = \sqrt{4} = 2$

   $B(-2, 0)$ বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   $y - 0 = m(x - (-2))$
   $\Rightarrow y = m(x + 2)$
   $\Rightarrow mx - y + 2m = 0$ ... (i)

   রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে কেন্দ্র $(1, 2)$ থেকে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।
   $\therefore \frac{|m(1) - 2 + 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
   $\Rightarrow \frac{|3m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $\frac{(3m - 2)^2}{m^2 + 1} = 4$
   $\Rightarrow 9m^2 - 12m + 4 = 4(m^2 + 1)$
   $\Rightarrow 9m^2 - 12m + 4 = 4m^2 + 4$
   $\Rightarrow 5m^2 - 12m = 0$
   $\Rightarrow m(5m - 12) = 0$
   $\therefore m = 0$ অথবা $m = \frac{12}{5}$

   $m$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   যখন $m = 0$:
   $0 \cdot x - y + 2(0) = 0 \Rightarrow y = 0$

   যখন $m = \frac{12}{5}$:
   $\frac{12}{5}x - y + 2\cdot\frac{12}{5} = 0$
   $\Rightarrow 12x - 5y + 24 = 0$

   সুতরাং, স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ: $y = 0$ এবং $12x - 5y + 24 = 0$ (Ans.)