গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $(m-1)a^2 + m^2ab + (m+1)b^2$

   $= (m-1)a^2 + (m^2 - 1 + 1)ab + (m+1)b^2$

   $= (m-1)a^2 + (m-1)(m+1)ab + ab + (m+1)b^2$

   $= (m-1)a\{a + (m+1)b\} + b\{a + (m+1)b\}$

   $= \{(m-1)a + b\}\{a + (m+1)b\}$ (উত্তর)

2. খ)

   $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

   সম্পর্ক $y = 2x - 1$। $x$ এর প্রতিটি মানের জন্য:

   $x = -2$ হলে $y = -5 \notin A$

   $x = -1$ হলে $y = -3 \notin A$

   $x = 0$ হলে $y = -1 \in A$

   $x = 1$ হলে $y = 1 \in A$

   $x = 2$ হলে $y = 3 \notin A$

   অতএব, $S = \{(0, -1), (1, 1)\}$

   ডোমেন $= \{0, 1\}$।

3. গ)

   দেওয়া আছে, $P = 3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = (1 + \sqrt{2})^2$

   সুতরাং $\sqrt{P} = 1 + \sqrt{2}$ এবং $P\sqrt{P} = (1 + \sqrt{2})^3$

   $(1+\sqrt{2})^3 = 1 + 3\sqrt{2} + 3 \cdot 2 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2}$

   আবার, $\dfrac{1}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$

   তাই $\dfrac{1}{P\sqrt{P}} = (\sqrt{2} - 1)^3 = 2\sqrt{2} - 6 + 3\sqrt{2} - 1 = 5\sqrt{2} - 7$

   অতএব, $P\sqrt{P} + \dfrac{1}{P\sqrt{P}} = (7 + 5\sqrt{2}) + (5\sqrt{2} - 7) = 10\sqrt{2}$ (প্রমাণিত)।