উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ:
   $9x^2 - 4y^2 = 36$
   বা, $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$
   বা, $\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{3^2} = 1$
   এটি একটি অধিবৃত্ত, যার আদর্শ রূপ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, যেখানে $a = 2$ এবং $b = 3$।

   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

   নিয়ামকরেখার সমীকরণ:
   $x = \pm \frac{a}{e}$
   বা, $x = \pm \frac{2}{\frac{\sqrt{13}}{2}} = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$
   বা, $\sqrt{13}x \pm 4 = 0$ (Ans.)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র হতে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু $A(3, 2)$ এবং উপকেন্দ্র $S(0, 3)$।

   অক্ষের ঢাল, $m = \frac{3 - 2}{0 - 3} = -\frac{1}{3}$
   অতএব, অক্ষের সমীকরণ:
   $y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 0)$
   বা, $3y - 9 = -x$
   বা, $x + 3y - 9 = 0$

   নিয়ামকরেখা অক্ষের উপর লম্ব। সুতরাং, নিয়ামকের সমীকরণ হবে:
   $3x - y + k = 0$
   শীর্ষবিন্দু $A(3, 2)$ হলো উপকেন্দ্র $S(0, 3)$ এবং নিয়ামক ও অক্ষের ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$-এর মধ্যবিন্দু।
   অতএব, $\frac{\alpha + 0}{2} = 3 \implies \alpha = 6$
   এবং $\frac{\beta + 3}{2} = 2 \implies \beta = 1$
   তাহলে, $Z$-এর স্থানাঙ্ক $(6, 1)$।
   যেহেতু নিয়ামকটি $Z(6, 1)$ বিন্দুগামী:
   $3(6) - 1 + k = 0 \implies 18 - 1 + k = 0 \implies k = -17$
   সুতরাং, নিয়ামকের সমীকরণ: $3x - y - 17 = 0$

   এখন, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $SP = PM$:
   $\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 3)^2} = \frac{|3x - y - 17|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}$
   উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
   $x^2 + (y - 3)^2 = \frac{(3x - y - 17)^2}{9 + 1}$
   বা, $10[x^2 + y^2 - 6y + 9] = (3x - y)^2 - 2(3x - y)(17) + 17^2$
   বা, $10x^2 + 10y^2 - 60y + 90 = 9x^2 - 6xy + y^2 - 102x + 34y + 289$
   বা, $x^2 + 6xy + 9y^2 + 102x - 94y - 199 = 0$ (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ $BB'$ যা $y$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত এবং কেন্দ্র মূলবিন্দু $O(0, 0)$।
   বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য, $2b = 2 \cdot OB' = 2 \times 4 = 8 \implies b = 4$

   চিত্র অনুসারে, $A$-এর স্থানাঙ্ক $(3, 2)$ এবং $S(0, 3)$। কিন্তু উদ্দীপকে $A, S, A'$ একই সরলরেখায় চিত্রিত এবং $AS = A'S$ দেওয়া আছে।
   যেহেতু ক্ষুদ্র অক্ষ $AA'$ $x$-অক্ষের সমান্তরাল বা $x$-অক্ষ বরাবর এবং কেন্দ্র মূলবিন্দু $O(0,0)$, তবে প্রতিসাম্য অনুসারে ক্ষুদ্র অক্ষের অর্ধ-দৈর্ঘ্য $a = AS = 3$ (যেহেতু $A$ থেকে $y$-অক্ষের দূরত্ব $|3 - 0| = 3$)।
   অতএব, ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য $2a = 2 \times 3 = 6 \implies a = 3$

   এখানে, বৃহৎ অক্ষ $y$-অক্ষ বরাবর হওয়ায় $b > a$ ($b = 4, a = 3$)।
   উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$

   উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

   যেহেতু বৃহৎ অক্ষ $y$-অক্ষ বরাবর, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:
   $y = \pm be$
   বা, $y = \pm 4 \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)$
   বা, $y = \pm \sqrt{7}$
   বা, $y \mp \sqrt{7} = 0$ (Ans.)