গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $35$ এর গুণনীয়কের সেট $=\{1, 5, 7, 35\}$ এবং $45$ এর গুণনীয়কের সেট $=\{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$।
   সুতরাং ছেদ সেট $=\{1, 5, 7, 35\} \cap \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} = \mathbf{\{1, 5\}}$।

2. খ)

   সেট তিনটি নির্ণয়:
   $A$ এর জন্য $x^2 > 8$ ও $x^3 < 200$। $x = 3$ হলে $9 > 8$ এবং $27 < 200$ (সত্য); $x = 5$ হলে $125 < 200$ (সত্য); $x = 6$ হলে $216 > 200$ (মিথ্যা)। তাই $A = \{3, 4, 5\}$। $B = \{2, 4, 6\}$।

   $A \setminus B = \{3, 5\}$, $B \setminus A = \{2, 6\}$, $A \cap B = \{4\}$

   ডানপক্ষ $= \{3, 5\} \cup \{2, 6\} \cup \{4\} = \{2, 3, 4, 5, 6\}$
   বামপক্ষ $A \cup B = \{3, 4, 5\} \cup \{2, 4, 6\} = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

   সুতরাং $A \cup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \cup (A \cap B)$। (দেখানো হলো)

3. গ)

   $C = \{\sqrt{7}\}$, তাই $C$ এর উপাদান $\sqrt{7}$। প্রমাণ করতে হবে $\sqrt{7}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

   ধরি, $\sqrt{7}$ মূলদ সংখ্যা। তাহলে $\sqrt{7} = \dfrac{p}{q}$, যেখানে $p, q$ পরস্পর সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$।

   উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই, $7 = \dfrac{p^2}{q^2}$ বা $p^2 = 7q^2$ ...... (১)

   এখান থেকে $7$ মৌলিক সংখ্যা এবং $7 \mid p^2$, তাই $7 \mid p$। ধরি $p = 7k$।

   (১) এ বসিয়ে পাই, $49k^2 = 7q^2$ বা $q^2 = 7k^2$। অতএব $7 \mid q^2$, তাই $7 \mid q$।

   তাহলে $p$ ও $q$ উভয়ই $7$ দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ $7$ তাদের সাধারণ উৎপাদক। এটি $p, q$ সহমৌলিক হওয়ার ধারণার বিপরীত।

   সুতরাং $\sqrt{7}$ মূলদ নয়। অতএব $C$ এর উপাদান $\sqrt{7}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)