গণিত • বৃত্ত (Circle) • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২০

গণিত প্রশ্ন

i. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PQ ও RT দুটি জ্যা। OA ⊥⊥PQ\perp \mathrm{PQ} ও OB⊥RTO B \perp R T ii. C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু D এবং DE ও DF উহার দুইটি স্পর্শক।

  1. ক)

    △△PQR\triangle \mathrm{PQR} এ ∠Q=90∘\angle \mathrm{Q}=90^{\circ} এবং QT⊥PR\mathrm{QT} \perp \mathrm{PR} হলে, দেখাও যে, △△PQT\triangle \mathrm{PQT} ও △△PQR\triangle \mathrm{PQR} সদৃশ।

    (1)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, DE=DF\mathrm{DE}=\mathrm{DF}

    (2)
  3. গ)

    PQ>RT\mathrm{PQ}>\mathrm{RT} হলে, প্রমাণ কর যে, OA<OB\mathrm{OA}<\mathrm{OB}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    △PQT\triangle PQT ও △PQR\triangle PQR এ,

    ∠P\angle P সাধারণ কোণ

    ∠PTQ=∠PQR=90∘\angle PTQ=\angle PQR=90^\circ [QT⊥PRQT\perp PR এবং ∠Q=90∘\angle Q=90^\circ]

    সুতরাং কোণ-কোণ (AA) শর্তে △PQT∼△PQR\triangle PQT\sim\triangle PQR (দেখানো হলো)।

  2. খ)

    বর্ণনা: CC কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু DD থেকে DEDE ও DFDF দুটি স্পর্শক, যারা বৃত্তকে যথাক্রমে EE ও FF বিন্দুতে স্পর্শ করে। প্রমাণ করতে হবে DE=DFDE=DF।

    অঙ্কন: C,EC,E; C,FC,F এবং C,DC,D যোগ করি।

    প্রমাণ: স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই CE⊥DECE\perp DE ও CF⊥DFCF\perp DF।

    △CED\triangle CED ও △CFD\triangle CFD এ, ∠CED=∠CFD=90∘\angle CED=\angle CFD=90^\circ, অতিভুজ CDCD সাধারণ, CE=CFCE=CF (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।

    সুতরাং △CED≅△CFD\triangle CED\cong\triangle CFD (অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা)

    ∴DE=DF\therefore DE=DF (প্রমাণিত)

  3. গ)

    বর্ণনা: OO কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের PQPQ ও RTRT দুটি জ্যা, OA⊥PQOA\perp PQ, OB⊥RTOB\perp RT এবং PQ>RTPQ>RT। প্রমাণ করতে হবে OA<OBOA<OB।

    অঙ্কন: O,PO,P ও O,RO,R যোগ করি।

    প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই PA=12PQPA=\frac12PQ এবং RB=12RTRB=\frac12RT।

    PQ>RTPQ>RT বলে PA>RBPA>RB, তাই PA2>RB2PA^2>RB^2 ......(i)

    সমকোণী △OAP\triangle OAP এ, OA2=OP2−PA2OA^2=OP^2-PA^2

    সমকোণী △OBR\triangle OBR এ, OB2=OR2−RB2OB^2=OR^2-RB^2

    OP=OROP=OR (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) এবং (i) থেকে OP2−PA2<OR2−RB2OP^2-PA^2<OR^2-RB^2

    ∴OA2<OB2\therefore OA^2<OB^2, অর্থাৎ OA<OBOA<OB (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন