গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $b^2 - ১ + ২c - c^2 = b^2 - (c^2 - ২c + ১) = b^2 - (c - ১)^2$

   $= (b + c - ১)(b - c + ১)$

2. খ)

   $U = \{২, ৩, ৫, ৭\}$ (৭ এর ছোট বা সমান মৌলিক সংখ্যা)।

   $A$: $x^2 - ৩x + ২ = ০ \Rightarrow (x - ১)(x - ২) = ০$, তাই $x = ১, ২$। সুতরাং $A = \{১, ২\}$।

   $A' = U - A = \{৩, ৫, ৭\}$ ($U$-এর যেসব উপাদান $A$-তে নেই)।

   $A'$ এর উপাদান সংখ্যা ৩, তাই $P(A')$ এর উপাদান সংখ্যা $২^৩ = ৮$।

   $P(A') = \{\emptyset, \{৩\}, \{৫\}, \{৭\}, \{৩, ৫\}, \{৩, ৭\}, \{৫, ৭\}, \{৩, ৫, ৭\}\}$

3. গ)

   $f(y) = \dfrac{৭y - ১}{y^2}$

   $f(a) = ১$ হলে $\dfrac{৭a - ১}{a^2} = ১$

   $\Rightarrow a^2 = ৭a - ১ \Rightarrow a^2 - ৭a + ১ = ০$

   $a \ne ০$ বলে উভয় পক্ষকে $a$ দ্বারা ভাগ করে পাই, $a - ৭ + \dfrac{১}{a} = ০$

   $\Rightarrow a + \dfrac{১}{a} = ৭$

   বর্গ করে, $a^2 + \dfrac{১}{a^2} + ২ = ৪৯ \Rightarrow a^2 + \dfrac{১}{a^2} = ৪৭$

   আবার বর্গ করে, $a^4 + \dfrac{১}{a^4} + ২ = ২২০৯ \Rightarrow a^4 + \dfrac{১}{a^4} = ২২০৭$

   সুতরাং, $a^4 = ২২০৭ - \dfrac{১}{a^4}$। (প্রমাণিত)